高等数学部分易混淆概念
第一章：函数与极限 一、数列极限大小的判断
例1：判断命题是否正确．
若xn?yn(n?N)，且序列xn,yn的极限存在，limxn?A,limyn?B,则A?B
n??n??解答：不正确．在题设下只能保证A?B，不能保证A?B．例如：xn?而limxn?limyn?0．
n??n??1n,yn?1n?1，xn?yn,?n，
例2．选择题
设xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0,则limzn（ ）
n??n?? A．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C正确
分析：若limxn?limyn?a?0，由夹逼定理可得limzn?a?0，故不选A与D.
n??n??n?? 取xn?(?1)?n1n,yn?(?1)?n1n,zn?(?1)，则xn?zn?yn，且lim(yn?x)n?0n??n，但limzn 不
n??存在，所以B选项不正确，因此选C．
例3．设xn?a?yn,且lim(yn?xn)?0,则{xn}与{yn}（ ）
n?? A．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A正确．
分析：由于xn?a?yn,，得0?a?xn?yn?xn，又由lim(yn?xn)?0及夹逼定理得
n??lim(a?xn)?0
n?? 因此，limxn?a，再利用lim(yn?xn)?0得limyn?a．所以选项A．
n??n??n??二、无界与无穷大
无界：设函数f(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得
f(x)?M?x?X?D
则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就成函数f(x)在X上无界；也就是说如果对于任何正数M，总存在x1?X，使f(x1)?M，那么函数f(x)在X上无界．
无穷大：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或x大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数?（或正数X），只要x适合不等式0?x?x0??（或
，对应的函数值f(x)总满足不等式 x?X）
f(x)?M
则称函数f(x)为当x?x0（或x??）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ②
① 如果f(x)在x0某邻域内无界，则limf(x)??
x?x0② 如果limf(x)??，则f(x)在x0某邻域内无界
x?x0解析：举反例说明．设f(x)?1xsin1x，令xn?12n???2,yn?1n?当n???,，
时，xn?0,yn?0，
而
limfx(n?)n???n???limn?(2? 0?2???)
limfy(n?)n???故f(x)在x?0邻域无界，但x?0时f(x)不是无穷大量，则①不正确． 由定义，无穷大必无界，故②正确．
结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大． 三、函数极限不存在?极限是无穷大
当x?x0（或x??）时的无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．
?x?1?例5：函数f(x)??0?x?1?x?0x?0x?0，当x?0时f(x)的极限不存在．
四、如果limf(x)?0不能退出limx?x01f(x)x?x0??
?x例6：f(x)???0x为有理数x为无理数，则limf()x?0x?x0，但由于
1f(x)在x?0的任一邻域的无理点均没有
定义，故无法讨论
1f(x)在x?0的极限．
结论：如果limf(x)?0，且f(x)在x0的某一去心邻域内满足f(x)?0，则limx?x01f(x)x?x0??．反
之，f(x)为无穷大，则
1f(x)为无穷小。
五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。
1例7．求极限lime,limex
x??x?0x解：lime???,lime?0，因而x??时e极限不存在。
x???x???11xx?0?xxx1 limex?0?x?0,lime???，因而x?0时ex极限不存在。
六、使用等价无穷小求极限时要注意：
（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。
（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例8：求极限lim1?x?x21?x?2 x?0分析一：若将错误。
1?x?1?x?2写成(1?x?1)?(1?x?1)，再用等价无穷小替换就会导致
分析二：用泰勒公式
11?x?1?x?(1?12122x?21(?2!(?1)2x2??(x2))1)?(1???14x?22!22x2??(x2))?2
x??(x)?原式?14x??(x)x222??14。
例9：求极限limx??sinxxsin?
解：本题切忌将sinx用x等价代换，导致结果为1。
limx??sinxx???0
七、函数连续性的判断
（1）设f(x)在x?x0间断，g(x)在x?x0连续，则f(x)?g(x)在x?x0间断。而
f(x)?g(x),f2(x),f在(xx)?x0可能连续。
?0例10．设f(x)???1x?0x?0，g(x)?sinx，则f(x)在x?0间断，g(x)在x?0连续，
在x?0连续。 f(x)?g(x)?f(x)?sinx?0
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