2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标I卷
一．选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M??x|?1?x?3?，N??x|?2?x?1?，则MN?（ ）
（A）??2,1? （B）??1,1? （C）?1,3? （D）??2,3? 2．若tan??0，则（ ）
（A）sin??0 （B）cos??0 （C）sin2??0 （D）cos2??0
3．设z?2311 （C）?i，则|z|?（ ） （A） （B） （D）2 2221?ix2y2?1?a?0?的离心率为2，则a?（ ） 4．已知双曲线2?a3（A）2 （B）
65 （C） （D）1 225．设函数f?x?，g?x?的定义域都为R，且f?x?是奇函数，g?x?是偶函数，则下列结论正确的是( ) （A）f?x?g?x?是偶函数 （B）|f?x?|g?x?是奇函数 （C）f?x?|g?x?|是奇函数 （D）|f?x?g?x?|是奇函数
6．设D,E,F分别为?ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EB?FC?（ ） （A）AD （B）
11AD （C）BC （D）BC 22??????y?cos2x?y?tan2x?7．在函数①y?cos|2x|，②y?|cosx| ，③??，④??6?4???中，最小正周期为?的所有函数为（ ）
（A）①②③ （B）①③④ （C）②④ （D）①③
8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
（A）三棱锥 （B）三棱柱 （C）四棱锥 （D）四棱柱
9．执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=（ ）
（A）203 （B）165 （C）72 （D）158
210．已知抛物线C：y?x的焦点为F，A?x0,y0?是C上一点，|AF|?5x04，
则x0?（ ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）8
11．设x,y满足约束条件??x?y?a，且z?x?ay的最小值为7，则a?（ ）
?x?y??1（A）?5 （B）3 （C）?5或3 （D）5或?3
12．已知函数f?x??ax3?3x2?1，若f?x?存在唯一的零点x0，且x0?0，则a的取值范围为（ ） （A）?2,??? （B）?1,??? （C）???,?2? （D）???,?1?
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________。
14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市。由此可判断乙去过的城市为________。
x?1??e?x?1?15．设函数f?x???13，则使得f?x??2成立的x的取值范围是________。 ??x?x?1?16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山
顶C为测量观测点。从A点测得M点的仰角
?MAN?600，C点的仰角?CAB?450以及?MAC?750，从C点测得?MCA?600。已知山高
BC?100m，则山高MN?________m。
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）已知?an?是递增的等差数列，a2,a4是方程x?5x?6?0的根。
2⑴求?an?的通项公式；⑵求数列??an?的前n项和。 n?2??18．（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项
质量指标值，由测量质量指标 ?75,85? ?85,95? ?95,105? ?105,115? ?115,125? 表得如下频数分布值分组 表。⑴在答题卡上作6 26 38 22 8 频数
出这些数据的频率分布直方图；⑵估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；⑶根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 19．（本小题满分12分）如图，三棱柱
ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的
中点为O，且AO?平面BB1C1C。⑴证明：
B1C?AB；⑵若AC?AB1,?CBB1?600，
BC?1，求三棱柱ABC?A1B1C1的高。
20．（本小题满分12分)已知点P?2,2?，圆C:x?y?8y?0，过点P的动直线l与圆
22C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点。⑴求M的轨迹方程；⑵当
|OP|?|OM|时，求l的方程及?POM的面积。
1?a2x?bx?a?1?，曲线y?f?x?在2a点?1,f?1??处的切线斜率为0。⑴求b；⑵若存在x0?1，使得f?x0??，求a的取值
a?121．（本小题满分12分）设函数f?x??alnx?范围。
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。 22．（本小题满分10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且
。⑴证明：⑵设AD不是⊙O的直径，ADCB?CE?D??E；
的中点为M，且MB?MC，证明：?ADE为等边三角形。
?x?2?tx2y2??1，直线l：? 23．（本小题满分10分）已知曲线C：（t为参数）。49?y?2?2t⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；⑵过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值。
24．（本小题满分10分）若a?0,b?0，且否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由。
011??ab。⑴求a3?b3的最小值；⑵是ab
2014年普通高校招生全国统考数学试卷新课标I卷解答
一．BCBDC AABDA BC
二．13．23；14．A；15．???,8?；16．150
2 17．解：⑴方程x?5x?6?0的两根为2,3，由题意得a2?2，a4?3，设数列?an?的
公差为d，则a4?a2?2d，故d?⑵设?故
11，所以?an?的通项公式为an?a2??n?2?d?n?1； 22??2n1?nann?2345?an?nS的前项和为,由⑴，则?S??3?4nnn?nn?12222222??22n??1n?，
1Sn?2345???232425??n?1n?2，两式相减得?2n?12n?213?11Sn???3?4?24?221?n?231?1?n?2n?4???1??，所以。 S?2??nn?1?n?2n?1?n?2n?12?244?2?2218．解：⑴略；
⑵质量指标值的样本平均数为
x?80?0.06?90?0.26?100?0.38?110?0.22?120?0.08?100，质量指标值的样本方
差为s???20??0.06???10??0.26?0?0.38??10??0.22??20??0.08?104；
22222⑶质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.38?0.22?0.08?0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定。
19．解：⑴连接BC1时，则O为BC1与B1C的交点。因侧面BB1C1C为菱形，故
B1C?BC1，又AO?平面BB1C1C，故B1C?AO，B1C?平面ABO，由于AB?平面
ABO，故B1C?AB；
⑵如图，作OD?BC，垂足为D，连结AD，作OH?AD，垂足为H，由于BC?AO，OD?BC，故BC?平面AOD，所以OH?BC。又OH?AD，
0BB1为所以OH?平面ABC。因?CBB1?60，故?C正三角形。又BC?1，可得OD?34。由于AC?AB1，所以OA?B1C2?12。由
OH?AD?OD?OA，以及AD?OD2?OA2?74，可得OH?2114。又O为B1C的中点，故点B1到平面ABC的距离为217，从而三棱柱ABC?A1B1C1的高为217。
20．解：⑴由题圆C：x??y?4??16,故圆心为C?0,4?，半径为4。设M?x,y?，
22则CM??x,y?4?，MP??2?x,2?y?。由题CM?MP?0，故
x?2?x???y?4??2?y??0，即?x?1???y?3??2。由于点P在圆C的内部，所以M
的轨迹方程是?x?1???y?3??2；
⑵由⑴可知M的轨迹是以点N?1,3?为圆心，2为半径的圆。由于|OP|?|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上。又P在圆N上，从而ON?PM。因为ON的斜率为3，所以l的斜率为?，直线l的方程为y?2??2222131即x?3y?又|OP|?|OM|?22，8?0。?x?2?，
3O到l的距离为6441081841016?，故|PM|?28?，所求面积为???。 105255101021．解：⑴f?x?的定义域为?0,???，f??x??⑵由⑴知f??x??a由f??1??0解得b?1； ??1?a?x?b，
xa1?a?a?1a??1?a?x?1?x?x?1。①若，则a??1，????xx?1?a?21?a故当x?1时f??x??0，f?x?在?1,???单调递增。所以存在x0?1，使得f?x0??充要条件为f?1??则
a的a?1a1?aa1，即，解得?1?2?a??1?2；②若?a?1，?1?1?a21?a2a?aaa?故当1?x?时f??x??0，x?时f??x??0，因此f?x?在?1,?1，?1?a1?a1?a?1?a?单调递减，在?a?a?,???单调递增。所以存在x0?1，使得f?x0??的充要条件为
a?1?1?a?a?a?f??，而?1?a1?a??则f?1??aa2aa?a?，矛盾；③若a?1，f??aln????1?a1?a21?a1?a1?a????1?a?1?aa。综上，a的取值范围为?2?1,2?1?1??22a?1???1,???。
22．解：⑴由题知A,B,C,D四点共圆，故?D??CBE。又?E??CBE，故?D??E；
⑵设BC的中点为N，连接MN，则由MB?MC知MN?BC，故O在直线MN上。
又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OM?AD，即MN?AD。所以AD//BC，故?A??CBE。又?E??CBE，故?A??E。又?D??E，故?ADE为正三角形。
23．解：⑴C的参数方程为?
?x?2cos?（?为参数），l的普通方程为2x?y?6?0；
y?3sin??
高考真题 - 文科数学（新课标I卷）
