【2024年中考数学几何变形题归类辅导】
专题6：直角三角形性质的应用
【典例引领】
例：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE． （1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2√2，CE=1，求△CGF的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△CFG=8． 【解析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；
（3）先求出BD=3，进而求出CF=2，同理：EG=2，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．
【解答】（1）在△ACE和△BCD中，
????＝????
{∠??????＝∠??????＝90° ，
????＝????
∴△ACE≌△BCD， ∴∠CAE=∠CBD； （2）如图2，
3
3
7
在Rt△BCD中，点F是BD的中点， ∴CF=BF， ∴∠BCF=∠CBF，
由（1）知，∠CAE=∠CBD， ∴∠BCF=∠CAE，
∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°，
∴∠AMC=90°， ∴AE⊥CF； （3）如图3，
∵AC=2√2， ∴BC=AC=2√2， ∵CE=1， ∴CD=CE=1，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD=√????2+????2=3， ∵点F是BD中点， ∴CF=DF=BD=，
2
2
1
3
同理：EG=2AE=2，
连接EF，过点F作FH⊥BC， ∵∠ACB=90°，点F是BD的中点， ∴FH=CD=，
2
2
1
1
13
∴S△CEF=CE?FH=×1×=，
2
2
24
1111
由（2）知，AE⊥CF，
∴S△CEF=CF?ME=×ME=ME，
2
22
4
1
13
3
∴4ME=4， ∴ME=，
31
31
∴GM=EG-ME=2-3=6， ∴S△CFG=CF?GM=××=．
2
2268
1
1377
317
【强化训练】
1．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE． （感知）如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明） （探究）如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G． （1）求证：BE=FG．
（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为 ．
MG．（应用）如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、若CM=3，则四边形GMCE的面积为 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）2，9.
【解析】【分析】感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；
探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论； （2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，
应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．
【解答】感知：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠CBE=90°， ∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠BAF=∠CBE， 在△ABF和△BCE中， ∠??????=∠??????
， {????=????
∠??????=∠??????=90°∴△ABF≌△BCE（ASA）； 探究：（1）如图②，
过点G作GP⊥BC于P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°， ∴四边形ABPG是矩形，
∴PG=AB，∴PG=BC，
同感知的方法得，∠PGF=∠CBE， 在△PGF和△CBE中， ∠??????=∠??????
， {????=????
∠??????=∠??????=90°∴△PGF≌△CBE（ASA）， ∴BE=FG；
（2）由（1）知，FG=BE， 连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点， ∴BE=2CM=2， ∴FG=2， 故答案为：2．
应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6， ∴ME=3，
同探究（1）得，CG=BE=6， ∵BE⊥CG，
∴S四边形CEGM=CG×ME=×6×3=9，
2
2
1
1
故答案为：9．
2．综合与实践：
如图1，将一个等腰直角三角尺??????的顶点??放置在直线??上，∠??????=90°，????=????，过点??作????⊥??于点??，过点??作????⊥??于点??． 观察发现：
（1）如图1．当??，??两点均在直线??的上方时， ①猜测线段????，????与????的数量关系，并说明理由； ②直接写出线段????，????与????的数量关系； 操作证明：
（2）将等腰直角三角尺??????绕着点??逆时针旋转至图2位置时，线段????，????与????又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程； 拓广探索：
（3）将等腰直角三用尺??????绕着点??继续旋转至图3位置时，????与????交于点??，若????=3，????=9，请直接写出????的长度．
【答案】（1）①????+????=????． 理由见解析；②????+????=2????；（2）?????????=2????；证明见解析；（3）????的长度为．
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【分析】（1）过点??作????⊥????，根据已知条件结合直角三角形性质证明?????????????????，从而得到四边形????????为正方形，最后得出①????+????=????，直接写出②????+????=2????（2）过点??作????⊥????，先证明?????????????????，证明四边形????????为正方形，根据正方形的性质求解（3）过点??作????⊥????，证明?????????????????，四边形????????为正方形，再求解. 【解答】解：（1）①????+????=????． 理由如下：
如图，过点??作????⊥????，交????的延长线于点??， ∵????⊥??，????⊥????， ∴∠??????=∠??=90°． 又∵????⊥?? ∴∠??????=90°
∴四边形????????为矩形． ∴∠??????=90°． 又∵∠??????=90°，
∴∠???????∠??????=∠???????∠??????． 即∠??????=∠??????． 在????????和????????中，
∠??????=∠??????,{∠??????=∠??????=90°,
????=????,
∴?????????????????(??????)． ∴????=????，????=????． 又∵四边形????????为矩形， ∴四边形????????为正方形．
【阿米阿斯教育】2024年中考数学几何变形题归类辅导 专题06 直角三角形性质的应用(解析版)
