研究性学习：二次根式 类比思想专题
【专题解读】 类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.
例17 计算.
（1）3+23；（2）18?2?12?23.
解：（1）原式=（1+2）3=33. （2）原式=32-2+23+23=22+43. 【解题策略】 对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.
专题9 转化思想
【专题解读】 当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决.
例18 函数y=2x?4中，自变量x的取值范围是 .
分析 本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，本题中2x?4是二次根式，所以被开方数2x-4≥0,所以x≥2.故填x≥2.
例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为3，则输出的数值为 .
图21-9 分析 本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图
2中所表示的代数式为x?1，代入可知（3）2-1=2.故填2.
专题10 分类讨论思想
【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.本意在运用公式a2?|a|进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论.
例20 若化简|1?x|?x2?8x?16的结果为2x?5，则x的取值范围是 （ ） A. x为任意实数 B. 1≤x≤4 C. x≥1 D. x≤4
分析 由题意可知|1?x|?|x?4|?2x?5，由此可知|1?x|?x?1，且|x?4|?4?x，
由绝对值的意义可知x?1≥0，且4?x≥0，所以1≤x≤4，即x的取值范围是1≤x≤4.故选B.
【解题策略】 对a2和|a|形式的式子的化简都应分类讨论.
例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm，5cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？
分析 这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案.
解：沿前、右两个面爬，路径长为(5?7)2?32?153(cm). 沿前、上两个面爬，路径长为(3?7)2?52?125(cm).
图21-10 沿左、上两个面爬，路径长为(3?5)2?72?113(cm). 所以它要爬行的最短路径长为113cm. 规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.
研究性学习(二次根式3)
