2024-2024中考数学专题复习分类练习 相似综合解答题及答案
一、相似
1．如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出
发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：（1）当t为何值时，∠ANM=45°？
（2）计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论； （3）当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似？
【答案】（1）解：对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t，当AN=AM时，△MAN为等腰直角三角形，即：9-t=2t， 解得：t=3（s），
所以，当t=3s时，△MAN为等腰直角三角形
（2）解：在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=12，∴S△NAC= NA?DC= （9-t）?18=81-9t．
在△AMC中，AM=2t，BC=9， ∴S△AMC= AM?BC= ?2t?9=9t． ∴S四边形NAMC=S△NAC+S△AMC=81（cm2）． 由计算结果发现：
在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变．（也可提出：M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变）
（3）解：根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：①当 NA：AB=AM：BC时，△NAP∽△ABC，那么有： （ 9-t）：18=2t：9，解得t=1.8（s）， 即当t=1.8s时，△NAP∽△ABC；
②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC，那么有： （ 9-t）：9=2t：18，解得t=4.5（s）， 即当t=4.5s时，△MAN∽△ABC；
所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与△ABC相似
【解析】【分析】（1）根据题意可得：因为对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t．当NA=AM时，△MAN为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。
（2）根据（1）中．在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=18，利用三角形的面积公式，可得S△NAC= =81-9t，S△AMC=9t．就可得出S中，四边形NAMC的面积始终保持不变。
（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为①当 NA：AB=AM：BC时，△NAP∽△ABC；②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案。
四边形
NAMC=81，因此在M、N两点移动的过程
2．设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．
求证：
（1）AD是⊙B的切线； （2）AD=AQ； （3）BC2=CF?EG．
【答案】（1）证明：连接BD，
∵四边形BCDE是正方形， ∵C为AB的中点，
∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB， ∴CD是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=45°， ∴∠ADB=90°， 即BD⊥AD，
∵BD为半径， ∴AD是⊙B的切线
（2）证明：∵BD=BG， ∴∠BDG=∠G， ∵CD∥BE， ∴∠CDG=∠G，
∴∠G=∠CDG=∠BDG= ∠BCD=22.5°，
∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°， ∴∠ADQ=∠AQD， ∴AD=AQ
（3）证明：连接DF， 在△BDF中，BD=BF， ∴∠BFD=∠BDF， 又∵∠DBF=45°， ∴∠BFD=∠BDF=67.5°， ∵∠GDB=22.5°，
在Rt△DEF与Rt△GCD中，
∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°， ∴Rt△DCF∽Rt△GED， ∴
,
又∵CD=DE=BC， ∴BC2=CF?EG．
【解析】【分析】（1）连接BD，要证AD是圆B的切线，根据切线的判定可知，只须证明∠ADB=∠DBC=∠CDB=∠∠ADB=
即可。由正方形的性质易得BC=CD，∠DCB=∠DCA=，根据点C为AB的中点可得BC=CD=AC，所以可得∠ADC=
，，则
，问题得证；
-∠G，∠ADQ=
-
（2）要证AQ=AD，需证∠AQD=∠ADQ。由题意易得∠AQD=AQ=AD；
∠BDG，根据等边对等角可得∠G=∠BDG，由等角的余角相等可得∠AQD=∠ADQ，所以（3）要证乘积式成立，需证这些线段所在的两个三角形相似，而由正方形的性质可得CD=DE=BC，所以可知BC、CF、EG分别在三角形DCF和三角形GED中，连接DF，用有两对角对应相等的两个三角形相似即可得证。
3．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点
D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.
（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长； （2）求证：FQ=BQ 【答案】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ 连接 ,
.
，
均为半圆切线，
≌
，
则 ∴四边形 ∵
∴DQ∥ ，
均为半圆切线，
为平行四边形 ∴
∽
，
，
∴ ∥ ， ∴四边形
，
为菱形，
（2）证明：易得 ∴ = ， ∴ ∵ ∴ 过 点作
. 是半圆的切线，
. 于点 ，
则 在 ∴ 解得： ∴ ∴
， . 中，
， ，
【解析】【分析】（1）连接OP,由ΔABD≌ΔBFO可得AD=OB，由切线长定理可得AD=DP，于是易得OP=OA=DA=DP，根据菱形的判定可得四边形DAOP为菱形，则可得DQ∥AB，易得四边形DABQ为平行四边形 ，根据平行四边形的性质可求解；
（2）过Q点作QK⊥AM于点K，由已知易证得ΔABD∽ΔBFO，可得比例式的关系，则根据FQ=BF?BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。
，可得
BF与AD的关系，由切线长定理可得AD=DP,QB=QP ，解直角三角形DQK可求得BQ与AD
4．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（2
,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD，作，
交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.
（1）填空：点B的坐标为________；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
2024-2024中考数学专题复习分类练习 相似综合解答题及答案
