第11讲 条件概率与正态分布
1.(2015年广东湛江一模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为( )
75
A. B. C.5 D.3 33
2.设随机变量X～N(3,1)，若P(X＞4)＝p，则P(2≤X≤4)＝( ) 1
A.＋p B.1－p 2
1
C.1－2p D.－p
2
3.夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖.产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海，一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )
A.0.05 B.0.007 5 11C. D. 36
4.在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为( )
A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2
5.(2024年皖南十校联考)在某市2017年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约9450人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( )
A.1 500 B.1 700 C.4 500 D.8 000 6.在如图X9-11-1所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分[曲线C为正态
分布N(0,1)的密度曲线]的点的个数的估计值为( )
图X9-11-1
A.2386 B.2718 C.3414 D.4773
7.(2024年山东聊城重点高中联考)已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm范围内的校服大约要定制( )
A.683套 B.954套 C.972套 D.997套
8.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数μ＝14，标准差σ＝2，绘制如图X9-11-2所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.
(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率)：
①P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≥0.6827； ②P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≥0.9545； ③P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≥0.9973.
评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线.试判断该生产线是否需要检修；
(2)将数据不在(μ－2σ，μ＋2σ)内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望E(Y).
图X9-11-2
9.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2024年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图X9-11-3所示.
－
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望.
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为μσ＝142.85≈11.95； ②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ 图X9-11-3 10.某工厂改造一废弃的流水线M，为评估流水线M的性能，连续两天从流水线M生产零件上随机各抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 第一天 合直径/ 559 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 mm 8 计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 第二天 合直径/ 560 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 mm 8 计 件数 1 1 2 4 5 21 34 21 3 3 2 1 1 1 100 记抽取的零件直径为X，经计算，第一天样本的平均值μ1＝65，标准差σ1＝2.2；第二天样本的平均值μ2＝65，标准差σ2＝2. (1)现以两天抽取的零件来评判流水线M的性能. (ⅰ)计算这两天抽取200件样本的平均值μ和标准差σ(精确到0.01)； (ⅱ)现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)： ①P(μ－σ 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线M的性能等级. (2)将直径x在(μ－2σ， μ＋2σ]范围内的零件认定为一等品，在(μ－3σ， μ＋3σ]范围以外的零件认定为次品，其余认定为合格品.现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个，设ξ为抽到次品的件数，求ξ的分布列及其期望. 附注：参考数据：4.42≈2.102，44.2≈6.648，442≈21.024； 1n(xi?x)2. 参考公式：标准差σ＝?ni?1 第11讲 条件概率与正态分布 1．A 2.C 3．C 解析：记雌性个体能长成熟为事件A，则P(A)＝0.15，能成功溯流并产卵繁殖为事 P?AB?1 件B，则P(AB)＝0.05.由条件概率知P(B|A)＝＝.故选C. P?A?3 4．B 解析：根据正态曲线的对称性可知，ξ在(80,100)内的概率为0.4，∵ξ在(0,100)内的概率为0.5，∴ξ在(0,80)内的概率为0.1.故选B. 11 5．A 解析：∵学生的数学成绩X～N(98,100)，∴P(X≥108)＝[1－P(88 22 1 －P(μ－σ 2 0.1587×9450≈1500名．故选A. 1 6．C 解析：根据正态分布的性质，P(0 2 7．B 解析：P(155<ξ<175)＝P(165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B. 8．解：(1)由题意知，μ＝14，σ＝2，由频率分布直方图得 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝P(12＜X＜16)＝(0.29＋0.11)×2＝0.8＞0.6827， P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P(10＜X＜18)＝0.8＋(0.04＋0.03)×2＝0.94＜0.9545， P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝P(8＜X＜20)＝0.94＋(0.015＋0.005)×2＝0.98＜0.9973. ∵不满足至少两个不等式成立，∴该生产线需检修． 47 (2)由(1)知P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.94＝， 503 ∴任取一件是次品的概率为0.06＝. 50 任取两件产品得到的次品数Y的可能值为0,1,2， 47?22209 则P(Y＝0)＝??50?＝2500； 473141 P(Y＝1)＝C1×＝； 2×50501250 3?29 P(Y＝2)＝?＝?50?2500. ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 22091419P 250012502500220914193∴E(Y)＝0×＋1×＋2×＝. 25001250250025 9．解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x为： x＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5. (2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P(14.55 14，?， ②根据题意得X～B??2??1?4＝1； P(X＝0)＝C04 ?2?16 ?1?4＝1； P(X＝1)＝C14 ?2?4?1?4＝3； P(X＝2)＝C24 ?2?81?41?P(X＝3)＝C34 ?2?＝4； ?1?4＝1. P(X＝4)＝C44 ?2?16 ∴X的分布列为 X P 0 1 161 1 42 3 83 1 44 1 161 ∴E(X)＝4×＝2. 2 10．解：(1)(ⅰ)依题意： 200个零件的直径平均值为μ＝65. 由标准差公式得： 第一天：则σ2＝ ?i?1100(Xi－65)2＝100σ21＝484，第二天： ?i?1100(Xi－65)2＝100σ22＝400， 11001 (Xi－65)2＝(484＋400)＝4.42， 200200 ?i?1故σ＝4.42≈2.10 ； 164 (ⅱ)由(1)可知：P(μ－σ 200 189 P(μ－2σ 200196 P(μ－3σ 200 仅满足一个不等式，判断流水线M的等级为合格． (2)可知200件零件中合格品7个，次品4个， ξ的可能取值为0,1,2，则 1 C221C177C428 P(ξ＝0)＝2＝；P(ξ＝1)＝2＝； C1155C1155C264 P(ξ＝2)＝2＝. C1155 ξ的分布列 ξ 0 1 2 21286P 555555212868则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 55555511
2024届高考数学一轮复习训练第11讲条件概率与正态分布
