微专题2 与球有关的内切、外接问题
与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系. 一、直接法(公式法)
例1 (1)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为________. 答案 14π
解析 因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π.
(2)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球9
面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________.
8答案
4π 3
解析 设正六棱柱的底面边长为x，高为h， 16x＝3，????x＝2，则有?9∴? 32
＝6×xh，??4?h＝3.?81
∴正六棱柱的底面外接圆的半径r＝，
2球心到底面的距离d＝
3. 2
4π
∴外接球的半径R＝r2＋d2＝1.∴V球＝.
3
反思感悟 本题运用公式R2＝r2＋d2求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1.构造正方体
例2－1 (1)一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ) A.3π C.33π 答案 A
解析 联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，则正方体的面对角线即为四面体的棱长，求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3，
B.4π D.6π
所以此球的表面积为3π.
(2)在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为( ) 43A.π 27C.6π 8
B.D.6π 26π 24
答案 C
解析 如图，因为AE＝EB＝DC＝1，∠DAB＝∠CBE＝∠DEA＝60°， 所以AD＝AE＝EB＝BC＝DC＝DE＝CE＝1，
即三棱锥P－DCE为正四面体，所有棱长均为1，易求得其外接球直径为所以其外接球体积为
6
π. 8
3， 2
2.构造长方体
例2－2 (1)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为1，2，3，则其外接球的表面积是________. 答案 6π
解析 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，2，3的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R， 则有(2R)2＝12＋(2)2＋(3)2＝6. 3∴R2＝. 2
故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.
(2)已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝2，BC＝3 ，则球O的体积等于________. 答案
77
π 6
解析 因为DA⊥平面ABC，AB⊥BC，
所以DA，AB，BC两两垂直，构造如图所示的长方体，
又因为DA＝AB＝2，BC＝3，
所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD＝7. 77
故球O的体积等于π.
6
(3)已知点A，B，C，D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥DC，若AB＝6，AC＝213，AD＝8，则B，C两点间的球面距离是________. 4答案 π
3
解析 因为AB⊥平面BCD，BC⊥DC，所以AB，BC，DC两两垂直，构造如图所示的长方体，则AD为球的直径，AD的中点O为球心，OB＝OC＝4为半径，要求B，C两点间的球面距离，只要求出∠BOC即可，在Rt△ABC中，求出BC＝AC2－AB2＝4，
4
所以∠BOC＝60°，故B，C两点间的球面距离是π.
3
反思感悟 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R＝a2＋b2＋c2. 三、寻求轴截面圆半径法
例3 正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为________. 答案
4π
3
解析 设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图所示.
∴由球的截面的性质， 可得OO1⊥平面ABCD.
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