3.1.1 方程的根与函数的零点
1．函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．
辨误区 函数的零点不是点 我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．
2
【例1】函数f(x)＝x－1的零点是( ) A．(±1,0) B．(1,0) C．0 D．±1
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解析：解方程f(x)＝x－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x－1的零点是±1． 答案：D
2．基本初等函数的零点 函数 零点(或零点个数) 正比例函数y＝kx(k≠0) 一个零点0 反比例函数y?k(k≠0) x无零点 一个零点?一次函数y＝kx＋b(k≠0) Δ＞0 二次函数y＝ax＋bx＋c (a≠0 2b k－b±Δ两个零点 2a一个零点－ 2aΔ＜0 无零点 x指数函数y＝a(a＞0，且a≠1) 无零点 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1) 一个零点1 α＞0 一个零点0 α幂函数y＝x α≤0 无零点 22【例2】若abc≠0，且b＝ac，则函数f(x)＝ax＋bx＋c的零点的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．1或2
2
解析：∵b＝ac，
22222
∴方程ax＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b－4ac＝b－4b＝－3b．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．
2
故函数f(x)＝ax＋bx＋c的零点个数为0． 答案：A
3．函数的零点与对应方程的关系
(1)方程f(x)＝0有实根?函数f(x)的图象与x轴有交点?函数f(x)有零点．
2
【例3－1】若函数f(x)＝x＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．
222
解析：因为函数f(x)＝x＋ax＋b的零点就是方程x＋ax＋b＝0的根，故方程x＋ax＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．
Δ＝0 b?2?(?4)??a,解：由题意，得方程x＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得??2?(?4)?b,2
即??a?2,
?b??8.2
2
(2)一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)与二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象联系密切，下面以a＞0为例列表说明． Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 f(x)＝ax2＋ bx＋c(a＞0) 的图象 图象与 (x1,0)，(x2,0) (x0,0) 无交点 x轴交点 方程f(x) x＝x1，x＝x2 x＝x0 无实数根 ＝0的根 函数y＝ x1，x2 x0 无零点 f(x)的零点 因此，对于二次函数的零点问题，我们可以像研究一元二次方程那样，探讨方程的判别式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．
【例3－2】函数y＝f(x)的图象如图所示，则方程f(x)＝0的实数根有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：观察函数y＝f(x)的图象，知函数的图象与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数根有3个．
答案：D
点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f(x)＝0的实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x轴是否有交点即可．
4．判断(或求)函数的零点 (1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点，就是方程f(x)＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实数根，有几个实数根．
例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
x＋3
(1)f(x)＝；
x(2)f(x)＝1－log3x．
x＋3
解：(1)令＝0，解得x＝－3．
xx＋3
的零点是－3； x(2)令1－log3x＝0，即log3x＝1，解得x＝3． 故函数f(x)＝1－log3x的零点是3．
故函数f(x)＝
(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数． 【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
2
(1)f(x)＝x＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
x2?4x?12(3)f(x)＝2－3；(4)f(x)＝．
x?2x－1
解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．
2
解：(1)解方程f(x)＝x＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6． 故函数的零点是－1，－6．
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1． 故函数的零点是－1．
x－1
(3)解方程f(x)＝2－3＝0，得x＝log26． 故函数的零点是log26．
x2?4x?12(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6．
x?2故函数的零点为－6．
辨误区 忽略验根出现错误 本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．
【例4－2】函数f(x)＝ln x－
1的零点的个数是( ) x?1A．0 B．1 C．2 D．3
1的图象如图所示，因为函数y＝ln xx?111与y?的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－的零点个数为2．
x?1x?1解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与y? 答案：C,
5．判断零点所在的区间
零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c?(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：
(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．
人教A版高中数学必修一学第三章方程的根与函数的零点讲解与例题新
