令狐文艳
微分方程习题
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§1基本概念
1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）x2?xy?y2?C,(x?2y)y??2x?y （2）
t2- y? 0e2dt?x?1,y???y(y?)2
2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中C, C1, C2均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）(x?C)2?y2?1； （2）y?C1sin2x?C2cos2x.
3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在?x,y?处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P?x,y?处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。
（3）曲线上的点P?x,y?处的切线与y轴交点为Q,PQ长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1）
1?x2y??1?y2；
（2）sec2x?tanydx?sec2y?tanxdy?0；
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（3）
dy?3xy?xy2； dx（4）(2x?y?2x)dx?(2x?y?2y)dy?0. 2．求下列微分方程的特解 （1）y??e2x?y, yx?0?0； （2）xy??y?y2, yx?1?1
23.求下列微分方程的通解 （1）xy??y(lny?1)；
x（2）(x3?y3)dx?3xy2dy?0. 4.求下列微分方程的特解 （1）
dyxy?2, ydxx?y2x?0?1；
（2）(y2?3x2)dy?2xydx?0, yx?0?1.
5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）y??(x?y)2； （2）xy??y?y(lnx?lny) （3）y??1?1 x?y（4）y(xy?1)dx?x(1?xy?x2y2)dy?0
6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y轴的直线和x轴所围城三角形面积等于常数a2.
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P(x,y) B A 7.设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时(t?0)速度为0，求物体速度v与时间t的函数关系.
8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉40%染色，现内科医生给某人注射了0.3g染色，30分钟后剩下0.1g，试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量P(t)随时间t变化的规律，此人胰脏是否正常？
9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？ §3 一阶线性方程与贝努利方程 1．求下列微分方程的通解 （1）y??y?x2；
x（2）(x2?1)y??2xy?cosx?0； （3）ylnydx?(x?lny)dy?0； （4）y??dxy；
2(lny?x)（5）dy?4e?ysinx?1
2．求下列微分方程的特解
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微分方程习题及答案之令狐文艳创作
