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课时活页训练1．已知a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )
ππA.6 B.4 ππC.3 D.2
a·b21
解析：选C.∵cos θ＝＝＝，0≤θ≤π，
|a||b|1×42π
∴θ＝3，故选C.
2．设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|＝( ) A．37 B．13 C.37 D.13 解析：选C.|a＋b|＝＝＝a2＋2a·b＋b2
42＋2×4×3×cos 60°＋32＝37. ?a＋b?2
|a|
3．已知非零向量a、b，若(a＋2b)⊥(a－2b)，则＝( )
|b|
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1
A.4 B．4 1
C.2 D．2
解析：选D.∵(a＋2b)⊥(a－2b)， ∴(a＋2b)·(a－2b)＝0，∴a2＝4b2， |a|
∴|a|＝2|b|，∴＝2，故选D.
|b|
→＝a，BC→＝b，若a·4．在△ABC中，ABb>0，则△ABC的形状
为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能判断
解析：选C.由于a与b的夹角为180°－B， 故a·b＝|a||b|cos(180°－B)＝－|a|·|b|cos B. ∵a·b>0，∴cos B<0， ∴角B为钝角，故选C.
5．设a、b、c是同一平面内的非零向量，且相互不共线，则下列命题：①(a·b)·c－a·(b·c)＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的是( )
A．③④ B．①② C．②③ D．②④
解析：选D.因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，所以③不对，排除选项A、C.①显然不对，因为平面向量的数量积不适合乘法结合律．故选D.
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6．(2010年高考湖南卷)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：选C.(2a＋b)·b＝2a·b＋|b|2＝0， 12∴a·b＝－2|b|. 设a与b的夹角为θ， a·b1∴cosθ＝＝＝－2，
|a||b||b|2又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
7．(2010年高考江西卷)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹
角为60°，则b在a上的投影是__________．
a·b1
解析：＝|b|·cos60°＝2×2＝1.
|a|答案：1
8．对于任意两个向量a，b，(a＋b)·(a－b)与(|a|＋|b|)·(|a|－|b|)的关系为__________．
解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(|a|＋|b|)·(|a|－|b|)＝|a|2－|b|2，∴两式相等．
答案：相等
9．若|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝__________.
解析：由于a＋λb与a－λb垂直，
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1－2|b|2
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则有(a＋λb)·(a－λb)＝0，|a|2－λ2|b|2＝0， 93所以λ＝25，即λ＝±5. 2
3答案：±5 10．平面向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4.求a·b＋b·c＋c·a的值．
解：法一：由已知得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，可知向量a与b同向，而向量c与它们反向．
所以有a·b＋b·c＋c·a
＝3cos0°＋4cos180°＋12cos180°＝3－4－12＝－13. 法二：∵(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)， ∴a·b＋b·c＋c·a
?a＋b＋c?2－?a2＋b2＋c2?
＝ 20－?32＋12＋42?＝＝－13. 2
11．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，求向量m＝2a＋b与向量n＝a－4b的夹角θ的余弦值．
解：a·b＝2×1×cos60°＝1， |m|2＝|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2 ＝4×22＋4×1＋12＝21，
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|n|2＝|a－4b|2＝|a|2－8a·b＋16|b|2 ＝22－8×1＋16×12＝12. ∴|m|＝21，|n|＝23， m·n＝(2a＋b)·(a－4b) ＝2|a|2－7a·b－4|b|2 ＝2×22－7×1－4×1＝－3. 又m·n＝|m|·|n|·cosθ，
7∴－3＝21·23·cosθ，即cosθ＝－14. 12．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．
解：(1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1且a、b、c之间的夹角均为120°，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0. ∴(a－b)⊥c. (2)∵|ka＋b＋c|＞1， ∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)＞1，
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优化方案数学必修4第二章§2.4.1课时活页训练(优选.)
