第一章 信号与系统
信号的分类
确定信号 随机信号
周期信号 非周期信号
连续时间信号 离散时间信号
能量信号 功率信号
信号的时域运算
（1）移位
f?t?t0?,t0为常数
t0?0，f?t?t0?为f?t?波形在t轴上左移t0； t0?0，f?t?t0?为f?t?波形在t轴上右移t0.
（2）反转
f??t?
f??t?波形为f?t?波形以t?0为轴反转。
（3）尺度变换
f?at?，a为常数
1a?1，f?at?波形为f?t?的波形在时间轴上压缩为原来的；
a10?a?1，f?at?波形为f?t?的波形在时间轴上扩展为原来的；
ad（4）微分运算 f(t)
dt（5）积分运算 （6）相加 （7）相乘
?t??f(?)d?
f(t)?f1(t)?f2(t) f(t)?f1(t)?f2(t)
奇异信号
（1）阶跃函数
0，t?0
?(t)? （2）冲激函数
1，t?0 21，t?0
?(t)?0,t?0
Dirac定义
??（3）阶跃函数与冲激函数的关系
???(t)dt?1
?(t)?td??t? dt?(t)???(x)dx
??（4）阶跃函数的积分r(t)
斜坡函数r(t)?（5）冲激函数的导数和积分
?t???(x)dx?t?(t)? 0,t?0t,t?0
??(t)称为冲激偶
??（6）冲激函数的性质 1.相乘性质
?????(t)dt?1
????(t)dt?0f(t)?(t?t0)=f(t0)?(t?t0)
f(t)??(t?t0)?f(t0)??(t?t0)?f?(t0)?(t?t0)
2.抽样性质
???3、尺度变换性
???f(t)?(t?t0)dt?f(t0)
??f(t)??(t?t0)dt??f?(t0)
?(at)?1?(t) a?(n)(at)?11(n)??(t) aan4.偶对称性
?(t)??(?t)
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应
n阶常系数线性微分方程的全解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成，即
y(t)?yh(t)?yp(t)
齐次解（二阶
y???py??qy?0）
1）??1x1??2时，y?C1e?Cx2e?2
2）??C?1x1??2时，y?(C12x)e
3）??x1、2????i时，y?e(C1cos?x?C2sin?x)
特解（二阶
y???py??qy?f(x)）
（1）f(x)?Pkxn(x)e
① ：若k非特征值，令y(a2?ankx0?0?a1x?a2x?nx)e
如
y0?(ax?b)ex
② ：若k与一个特征值相同，令y2n)ekx0?x(a0?a1x?a2x??anx 如
y0?x(ax?b)ex
③ ：若k与两个特征值都相同，令y22nkx0?x(a0?a1x?a2x??anx)e
y0?x2(ax?b)ex
（2）f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Ps(x)sin?x]
令n?max{l,s}
① ：若??i?不是特征值，令y?x(1)(2)0(x)?e[Qn(x)cos?x?Qn(x)sin?x]如
② ：若??i?是特征值，令y0(x)?xe?x[Qn(x)cos?x?Qnx如y0(x)?xe[(ax?b)cos?x?(cx?d)sin?x]
(1)(2)(x)sin?x]
2.3 卷积积分
一般而言，两个函数f1(t)和f2(t)卷积
f(t)?f1(t)?f2(t)??f1(?)f2(t??)d?
???LTI系统的零状态响应yzs(t)是激励f(t)与冲激响应h(t)的卷积积分。
yzs(t)??
???f???h?t???d?
?(t)??(t)?t?(t)
1t?(t)??(t)?t2?(t)
2
2.4卷积积分的性质
一、卷积的代数运算 交换律
f1(t)?f2(t)?f2(t)?f1(t)
分配律
f1(t)?[f2(t)?f3(t)]?f1(t)?f2(t)?f1(t)?f3(t)
结合律
[f1(t)?f2(t)]?f3(t)?f1(t)?[f2(t)?f3(t)]
二、函数与冲激函数的卷积
f(t)??(t)??(t)?f(t)?f(t)
推广：
f(t)??(t?t1)??(t?t1)?f(t)?f(t?t1)
?(t?t1)??(t?t2)??(t?t2)??(t?t1)??(t?t1?t2)
f(t?t1)??(t?t2)?f(t?t2)??(t?t1)?f(t?t1?t2) f1(t?t1)?f2(t?t2)?f1(t?t2)?f2(t?t1)?f(t?t1?t2)
三、函数与阶跃函数的卷积
f(t)??(t)??f???d?
??tf(t)??(t?t0)??四、卷积的微分与积分
导数：f积分：f微分积分性质：
推广：
(1)t?t0??f???d???f?t???d?
t0?(t)?f1(t)?f2(t)?f1(t)?f2(t)
(?1)(1)(1)(?1)(t)?f1(t)?f2(t)?f1(t)?f2(?1)(t)
tdf1(t)tdf(t)??f2(?)d???f1(?)d??2?f1(t)?f2(t) ????dtdtf(i)(t)?f1(t)?f2五、相关函数
(j)(i?j)(t)
R12(?)??R21(?)??????f1(t)f2(t??)dt??f1(t??)f2(t)dt??????f1(t??)f2(t)dt f1(t)f2(t??)dt
????R12(?)?R21(??) R21(?)?R12(??)
自相关函数：
??R(?)????f(t)f(t??)dt????f(t??)f(t)dt
R(?)?R(??)
若f1(t)和f2(t)均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。 相关与卷积的关系：
?R12(?)?f1(t)?f2(t)?f1(t)?f2(?t)
奇异信号的相关：
?f(t)??(t)?f(t)
?(t)?f(t)?f(?t)
?
吴大正-信号与系统公式
