高中数学第三章导数及其应用测试题新人教A版选修1-1

由天下分享时间：2025/1/15 13:46:50 加入收藏我要投稿点赞

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )

A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 [答案] A

[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.

2．一物体的运动方程为s＝2tsint＋t，则它的速度方程为( ) A．v＝2sint＋2tcost＋1 B．v＝2sint＋2tcost C．v＝2sint

D．v＝2sint＋2cost＋1 [答案] A

[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sint＋2tcost＋1，故选A.

3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( ) A．4 B．5

C．6 D．7 [答案] D

[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D. 4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( ) A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1 B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1 C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1 D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3 [答案] B

[解析] y＝x|x(x－3)|＋1

＝x3－3x2＋1 (x<0或x>3)－x3＋3x2＋1 (0≤x≤3) ∴y′＝3x2－6x (x<0或x>3)－3x2＋6x (0≤x≤3) x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋ f(x)

无极值

极大值5

极小值1

∴f(x)极大＝f(2)＝5，f(x)极小＝f(3)＝1 故应选B.

5．(2009·安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( )

A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3 [答案] A

[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8， ∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4， ∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，

∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.

6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案] D

[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋3， ∵f(x)在x＝－3时取得极值，

∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根， ∴a＝5，故选D.

7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( ) A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) [答案] D

[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0. 又由g(－3)＝0，知g(3)＝0 ∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0

于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示

∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.

8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( ) A．①② B．③④ C．①③ D．①④

[答案] B

[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B. 9．(2010·湖南理，5)241xdx等于( ) A．－2ln2 B．2ln2 C．－ln2 D．ln2 [答案] D

[解析] 因为(lnx)′＝1x，

所以 241xdx＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln2.

10．已知三次函数f(x)＝13x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值范围是( ) A．m<2或m>4 B．－4

C．2

D．以上皆不正确 [答案] D

[解析] f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，

由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)