高考数学 第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 [最新考纲]
1．理解直线的方向向量及平面的法向量．
2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
知 识 梳 理
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
→
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直→
线l的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平a＝0，?n·
面α的法向量，则求法向量的方程组为?
b＝0.?n·2．空间位置关系的向量表示
位置关系 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2. 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m 平面α，β的法向量分别为n，m. 辨 析 感 悟
1．平行关系
(1)直线的方向向量是唯一确定的．(×)
(2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1
l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α α∥β α⊥β 向量表示 n1∥n2?n1＝λn2 n1⊥n2?n1·n2＝0 n⊥m?m·n＝0 n∥m?n＝λm n∥m?n＝λm n⊥m?n·m＝0
与l2的位置关系是平行．(√) 2．垂直关系
→→
(3)已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0＝22??1，－?±3.(√) 3，3???
(4)(2014·青岛质检改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．(√)
[感悟·提升]
1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)．否则易造成解题不严谨．
2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a∥b，可证向量a＝λb，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等.
学生用书
考点一 利用空间向量证明平行问题
【例1】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
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→→→审题路线 若用向量证明线面平行，可转化为判定向量MN∥DA1，或证明MN与
平面A1BD的法向量垂直．
证明 法一 如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y1??
轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M?0，1，2?，
??→?11?→?1?
N?2，1，1?，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．于是MN＝?2，0，2?，DA1＝(1,0,1)，????→
DB＝(1,1,0)．
设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． →→?x＋z＝0，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得?
x＋y＝0.?取x＝1，得y＝－1，z＝－1. ∴n＝(1，－1，－1)．
→1??1
又MN·n＝?2，0，2?·(1，－1，－1)＝0，
??→
∴MN⊥n， 又MN?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD.
→→→1→1→1→→→→1→
法二 MN＝C1N－C1M＝2C1B1－2C1C＝2(D1A1－D1D)＝2DA1.∴MN∥DA1， 又∵MN与DA1不共线， ∴MN∥DA1，
又∵MN?平面A1BD，A1D?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD.
规律方法 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．
(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为
一轮复习配套讲义：第7篇 第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
