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20．【答案】（1）如图甲，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，由S＝SSEBF－SFCG＝
梯形EGCG
－
111(10＋2)×8－×10×4－×4×2＝24 222
(2)如图（甲），当0≤t≤2时，点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动，此时AE＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t，S＝8t2－32t＋48（0≤t≤2）
（3）如图乙，当点F追上点G时，4t＝2t＝8，解得t＝4，当2＜t≤4时，CF＝4t－8，CG＝2t，FG＝CG－CF＝8－2t，即S＝－8t＋32(2＜t≤4)，
EBBF，?FCCG12?2t4t222EBBF即，即?，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△GCF②若?3338?4t2tGCCF12?2t4t3332，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△GCF，综上知，当t＝或?22232t8?4t3时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似 2(3)如图（甲），当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t≤2，在EFF和FCG中，B＝C＝90，，①若21.【解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF. ∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45??22a.
（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD. ∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF. ∴PE－PF=OF－BF= OB=acos45??22a.
22.证明：∵ABCD是菱形，∠ABC= 60°∴BC=AC=AD又∵DE∥AC ∴ACED为平行四边形
∴CE=AD=BC DE=AC∴DE=CE=BC ∴DE=
1BE 223. 【答案】证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.
∵EC=DC, ∴AB=EC．
在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC， ∴⊿ABF≌⊿ECF．
（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC． ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB． ∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴□ABEC是矩形．
解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．
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∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．
又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD． 又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°． ∴□ABEC是矩形． 24. 【答案】（1）AE′＝BF
证明：如图2，∵在正方形ABCD中， AC⊥BD∴∠F'OE'＝∠AOD＝∠AOB＝90° 即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′∴∠AOE′＝∠BOF′
又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA∴OE′＝OF′∴△OAE′≌△OBF′∴AE′＝BF （2）作△AOE′的中线AM，如图3. 则OE′＝2OM＝2OD＝2OA ∴OA＝OM ∵α＝30° ∴∠AOM＝60° ∴△AOM为等边三角形∴ MA＝MO＝ME′，∠AE'M＝∠E'AM
又∵∠AE'M＋∠E'AM＝∠AMO即2∠AE'M＝60°∴∠AE'M＝30°∴∠AE'M＋∠AOE′＝30°＋60°＝90°∴△AOE′为直角三角形.
25. 【解】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA，∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B，
∵AD平分∠FAC，∴∠FAD＝∠B，∴AD∥BC，∴∠D＝∠DCE，∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE，∴∠D＝∠ACD， ∴AC＝AD； （2）证明：∵∠B＝60°，∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°， ∴∠DCE＝∠B＝60°，∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形， 又由（1）知AC＝AD，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
26.（1）证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，∴∠DEF＝GEB， 又∵ED＝BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB， ∴EF＝EG．
(2)成立． 证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I， 则EH＝EI，∠HEI＝90°， ∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°， ∴∠IEF＝∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH,∴EF＝EG．
(3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N ，
EMCEEN则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD, ∴＝＝，
ABCAADABaEM ∴＝＝, ∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，
ADbEN 17
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∴∠FEN＝∠GEM，∴Rt△FEN∽Rt△GEM, ∴
EFENb＝＝． EGEMa27. 【答案】（1）连接BD．∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，CD=CF．
∵在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，∴四边形ABCD是等腰梯形．∴BD=AC． ∴AC=BF，AB=CF．∴四边形ABFC是平行四边形．
ADBEFC
EFCE． ?BEEF又∵DE⊥BC，∴∠CEF=∠FEB=90°．∴△CEF∽△FEB．∴∠CFE=∠FBE． ∵∠FBE+∠BFE=90°，∴∠CFE +∠BFE=90°．即∠BFC=90°．
由（1）知四边形ABFC是平行四边形，∴证四边形ABFC是矩形． 28. 【答案】
证明：∵四边形ABCD为矩形 ∴OA=OB=OC=OD AB=CD ∵AE=DF∴OE=OF
（2）∵DE2 =BE·CE，EF=DE，∴EF2 =BE·CE．∴
?OB?OC? 在ΔBOE与ΔCOF中， ??BOE??COF ∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS) ∴BE=CF
?OE?OF?29. 【解】(1) 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），
∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°， 又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP， 又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴∴
PBBC， ?DAAP10?AP4，∴AP?2或8，∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2 或8． ?4APABBCm416?，即?，∴AP?．
4APmDAAP(2) 如下图，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴
∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，
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PBBQ?，即ABBCm?16m?BQ， m4 19
∴BQ?4?16． m2(3)由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），
∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP，∴PB=DA=4，AP=BQ=m?4，
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：S四边形PQCD= S矩形ABCD－S△DAP－S△
QBP=DA?AB?1111?DA?AP??PB?BQ=4m??4??m?4???4??m?4?=16（4＜m≤8）． 222230.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC．
∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE． ∵∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°，∴∠ADE=∠BCE=30°． ∵AD=BC，∠ADE=∠BCE，DE=CE，∴△ADE≌△BCE． （2）∵△ADE≌△BCE，∴AE=BE，∴∠BAE=∠ABE．
∵∠BAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠AFB=90°，∠BAE=∠ABE，
∴∠DAE=∠AFB．∵AD=CD=DE，∴∠DAE=∠DEA．∵∠ADE=30°，∴∠DAE=75°，∴∠AFB=75°． 31. 【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴CD＝CB，
∵AC是正方形的对角线 ∴∠DCA＝∠BCA 又 CE ＝ CE ∴△BEC≌△DEC (2）∵∠DEB ＝ 140?由△BEC≌△DEC可得∠DEC ＝∠BEC＝140??2＝70?，
∴∠AEF ＝∠BEC＝70?，又∵AC是正方形的对角线， ∠DAB＝90? ∴∠DAC ＝∠BAC＝90??2＝45?， 在△AEF中，∠AFE＝180?— 70?— 45?＝65?
32. 【答案】解：（1）证明：∵DE∥OC ，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形 ∴ AO＝OC＝BO＝OD ∴四边形OCED是菱形． A O F B
图
C
D E
（2）∵∠ACB＝30° ∴∠DCO ＝ 90°— 30°＝ 60°又∵OD＝ OC， ∴△OCD是等边三角形 过D作DF⊥OC于F，则CF＝在Rt△DFC中，tan 60°＝
1OC，设CF＝x，则OC＝ 2x，AC＝4x 2DF ∴DF＝FC? tan 60°?3x FC由已知菱形OCED的面积为83得OC? DF＝83，即2x?3x?83 ， 解得 x＝2， ∴ AC＝4?2＝8
33. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90°∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90°∴∠ADP＝∠EPB.
（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90° ··· 3分
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DCA132DEPHQAMNBGCFFAPBEGGBFEC（第34题）②解得图
又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP 第35题图
∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG∴∠CBE＝∠EBG＝45°.
（3）方法一：当
AP1?时，△PFE∽△BFP. AB212AP1?a AD4∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝a，∴BF＝BP·∴PD?AD2?AP2?55PBBF5 a，PF?PB2?BF2?a∴??24PDPF5PBBF?.∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF PDPF又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP 方法二：假设△ADP∽△BFP，则∴
PDAPPBAPAP1???时，△PFE∽△BFP. ·，∴∴PB＝AP， ∴当· 10分 PFBFBFBFAB234.【答案】⑴EAF、△EAF、GF．⑵DE+BF=EF，理由如下：
假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转m?得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
111因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=m? ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=m??m??m?
222∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=
1m?．即∠GAF=∠EAF又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌△EAF． 2∴GF=EF，又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF． ⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF． 35.情境观察AD（或A′D），90 问题探究结论：EP=FQ.
证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP. ∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP. 同理AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸结论： HE=HF. 理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.
∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，
AGAB
∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = . EPEA
AGACABACAGAG
同理△ACG∽△FAQ，∴ = . ∵AB=k AE，AC=k AF，∴ = =k，∴ = . ∴EP=FQ.
FPFAEAFAEPFP
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF.
36.证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°。又E为AB中点，∴DE=
11AB,BE=AB, ∴DE=BE 22 20
平行四边形·矩形·菱形·正方形解答题与答案(中考必备)
