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第20题图 第21题图
21. 已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分
别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.
（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；
（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值. 22. 如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=
A1BE 2DBCE
23. (如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
⑴求证：△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
A D
B
F C E
24. 已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F'OE'（如图2）. （1） 探究AE′与BF'的数量关系，并给予证明； （2） 当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.
第24题图 底5题图
25. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F
（1）求证：AC＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形；
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26. 如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．
（1）求证：EF＝EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a,BC＝b，求
EF的值．[来源:学科网ZXXK] EG 图1 图2 图3
27. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CF、AC．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．
ADBEFC
28. 如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CF
第28题图 第29题图 第30题图
29. 如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m＞4)，点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．
(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在说明理由； (2)连结AC，若PQ∥AC,求线段BQ的长（用含m的代数式表示）
(3)若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．
30. 如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F．
（1）求证：△ADE≌△BCE；（5分）（2）求∠AFB的度数．（5分） 31. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．
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（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB ＝ 140?，求∠AFE的度数． D F E A A O C B D E
C
B
第310题图 第32题图 第33题图
32. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若∠ACB＝30?，菱形OCED的面积为83，求AC的长．
33. 如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时
针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF. （1）求证：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE的度数；3）当并说明理由.
34.探究问题：⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______． ∴_________=EF，故DE+BF=EF．
A132DEEADAP的值等于多少时，△PFD∽△BFP？ABADEGBFCBFCBFC（第25题）① （第25题）② （第25题）③
⑵方法迁移：如图②，将Rt?ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且1∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
2⑶问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足?EAF?1?DAB,2试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）． 35. 情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是 ，∠CAC′= °．
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C'DCDC'CCABA'ABDA(A')B图1 图2
问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
EQAPFBG图3
C
拓展延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
第35题 （图4） 第36题
36. 已知:如图,在梯形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点, 求证:四边形BCDE是菱形.
37. (20011江苏镇江,25,6分)已知:如图1,图形①满足:AD=AB,MD=MB, ∠A=72°, ∠M=144°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图2).记作AB的长度为a,BM的长度为b. (1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度.[来源:学.科.网]
(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”.
①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形,需要这种纸片____张;
②小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图3),其中
∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)
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38. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
⑴说明四边形ACEF是平行四边形；⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
第38题图
39. 如图12，四边形ABCD是正方形，点E,K分别在BC,AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG. (1)求证：①DE=EG;②DE⊥EG；
（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； （3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
S正方形ABCDCE1（4）当的值. ?时，请直接写出
CBnS正方形DEFGGAKB图12DEC
40. 两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图⑴，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线l上左右平移，如图⑵所示.⑴ 求证：四边形ACFD是平行四边形;
⑵ 怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形;⑶ 将Rt△ABC向左平移4cm，求四边形DHCF的面积.
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平行四边形·矩形·菱形·正方形解答题与答案（中考必备）
