2.求函数
y
x 3x
3 2
1的单调区间、极值及曲线的凹凸区
间
3.求证：当x
.选择题：（每小题 题号 答案 二..填空题:（每小题
1. 1 2.
2 2;
e
.
4分,共20分） 1 B 4分,共40分） 3
.
《高等数学（一）答案
2 D 3 C 4 C 5 A 4.
（1, 3）; 5.
1 1 x2
2 3
f x ;610
3 7. .
. 每小题 6分,共60分） （ 三?计算题
,得到lim 1.解法一.由洛必达法则
x 0
解法二.令ex 1 t , 则 x ln 1 t 1 t x e 于是 ,lim lim
x 0t 0 x l n 1 t
2.解.dg dx
故
3.解法一. dx
x 1
4x 2z 2.
lim x
e 0
x
1
1
.
..2分
1
.
sin x
sin x, y
f
dx
sin x
dg
f
sin x e
dy dx
令二 t,,
e
COSX .
..6分 ..2分
则 x t2,
2tdt t 1 t
2
dt
----- 2 2 arcta nt C. 1 t2
2 arctan . x C .
.5分
.6分
解法
dx .x 1 x
2
d （、x） 1
、.x2
.4分
2arcta n x C.
x
0
.6分
4.解.
xe dx
0
x
xe
e xdx
.3分
0 1
.
1 0
1
0
1
5.x4dx
解. x dx dx f x dx cosxdx
2
2
0
0
sin x
32 sin15
. 1
6.
解.设 x dx A,两边对已给等式关于 x从0到1积分，得到
0
1 1
dx exdx 2 Adx ex 2A e x dx
0 0
从而解得 dx 0
代入原式得f
ex 21 e 7.解.特征方程为k2 k 0，得到特征根k1 0, k2
故对应的齐次方程的通解为
x
y q c?e ,
1 由观察法，可知非齐次方程的特解是 y 1 e
2
因而，所求方程的通解为 y C1 1 C-e ,x
2e
其中 C1 ,C2是任意常2 数
8.解.因为ln
x2
x3
x4
1n—
n 1
所以x2
ln 1 (x n 1
4
3
x x5
1n—n 3
=x
2 3
n 1
四.综合题：（每小题10分,共30分）
1
1.解法一 (1). S e ex dx
0
ex
(2). V
e 2x
dx
..6分
.3分
.6分
.4分
..5分
.6分
..1分..3 ..5
.
6 1),
….3分
.
..6分
.
4 ..6
..9
1)
解法二.(1) S
(2).
V
2.解.定义域为
1 2x
e 2
..12 分
exdx
.3分
1
.
1
..6分
2x
e dx
0 2x
.9分
12分
)
，
dy 3x2
卑6x
6x 3x x
1,由空 dx2
，令
dx 0,得到X3
0 ,得到 0, x2 2 (驻点),
.2分
dx2
1
.3分
1 0 (1,2) 一 2 0 + 0 一 + 一 一 + + 极小值 —5 ..8分
极大值 —1
故(,0)
(2,)为单调增加区间,
(0, 2)为单调减少区间； .10分 ..11 分
极大值为—1,极小值为—5,
(,1)为凸区间，(1,
3.证明.令F X
)为凹区间
1
xl n 1— x ln x
ln 1 x
ln x — x 1
x[ln( x 1) In x],
12分
dx
ln1
x ln
.2分
利用中值定理
ln x
x 1,
.4分
dF 1
所以匹 -
dx
1
0,因此，当x 0时,
是单调增加的,
而 lim 1
x
1 x
x
e,
x
1
所以当x 0时，1
- e. x
..6分
2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷
一、填空题
3.写出函数
的水平渐近线 和垂直渐近
1 x
线 二?选择题
。
x
1
x
浙江省专升本历年真题卷
