A. C.
97
53
B. D．2
75
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A，B作直线y＝－2的垂线，垂足分别为D，E.∵|PA|
??3x1＋2＝x2＋2，1
＝|AB|，∴?2?3y1＝y2，?
??y1＝4x1，
又?2
?y2＝4x2.?
2
2
得x1＝，则点A抛物线C的焦点的距
3
25
离为1＋＝. 33
答案：A
2．(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
2
A.C.
3 32 2
B. D．1
2
23
tp＋2
2pttp
解析：设P(，t)，易知F(，0)，则由|PM|＝2|MF|，得M(，)，当t＝0时，
2p233t11
直线OM的斜率k＝0，当t≠0时，直线OM的斜率k＝，所以|k|＝2＝
tptp|t|p＋＋＋2pt2p|t|2p≤2选C.
答案：C
3．(2017·广东深圳一模)过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛
4物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点(0,2)，则p等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则y1＝2px1，y2＝2px2，两式相减，y1－y2p3
得(y1＋y2)·＝2p，即2y0×1＝2p，所以y0＝p，又AB的方程为y＝x－，所以x0＝p，
x1－x2224?3?即M?p，p?，代入AB的中垂线y＝－x＋2，可得p＝. 5?2?
4
答案： 5
4．(2017·安徽合肥一检)设A，B为抛物线y＝x上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，
2
2
2
2
12p|t|2
＝，当且仅当＝时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为，
|t|2p2p|t|2
·|t|2p
π分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P.
(1)求点P的坐标；
→
→
→
(2)M为A，B间抛物线段上任意一点，设PM＝λPA＋μPB，试判断λ＋μ是否为定值．如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由．
解：(1)知A(1,1)，B(4，－2)，设点P坐标为(xP，yP)，切线l1：y－1＝k(x－1)，联
??y－1＝k立?2
??y＝x，
x－1，
111
由抛物线与直线l1相切，解得k＝.即l1：y＝x＋.同理，l2：
222
xP＝－2，??1
y＝－x－1，联立l1，l2的方程，可解得?1
4yP＝－，?2?
→
→
1??即点P的坐标为?－2，－?.
2??
1??2?3?2
(2)设M(y0，y0)，且－2≤y0≤1，由PM＝λPA＋μPB，得?y0＋2，y0＋?＝λ?3，?＋
2???2?y0＋2＝3λ＋6μ，??3??μ?6，－?.即?132??yλ－μ，0＋＝?22?
2
→
??
解得???μ＝
y0＋2λ＝
9
y0－19
2
，
2
，
故λ＋μ＝
y0＋21－y0
＋＝1，即λ＋μ为定值1. 33
2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第八章 平面解析几何 课时作业54
