课时作业54 抛物线
一、选择题
1．抛物线y＝2x的焦点坐标是( )
2
??A.?，0?
??
C.?0，?
8
1?8
??B.?，0?
??
D.?0，?
2
1?2
??
1???
1?1?1?2
解析：抛物线的标准方程为x＝y，所以焦点坐标是?0，?.
2?8?答案：C
2．已知抛物线y＝2px(p>0)的准线与曲线x＋y－4x－5＝0相切，则p的值为( )
2
2
2
A．2 C.
2
2
B．1 D. 1
4
12
解析：曲线的标准方程为(x－2)＋y＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物pp
线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2，故选A.
22
答案：A
3．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝( )
2
A．n＋10 C．2n＋10
2
B．n＋20 D．2n＋20
解析：由抛物线的方程y＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故选A.
答案：A
4．(2017·江西南昌一模)已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝( )
2
A. C．3
8
3
B. D．2
52
|NQ|
解析：设l与x轴的交点为M，过Q作QN⊥l，垂足为N，则△PQN∽△PFM，所以＝
|MF||PQ|288
＝，因为|MF|＝4，所以|NQ|＝，故|QF|＝|QN|＝，故选A. |PF|333
答案：A
5．已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y2则的值一定等于( ) x1x2
2
A．－4 C．p2
解析：方法1：若焦点弦AB⊥x轴， pp
则x1＝x2＝，所以x1x2＝；
24∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p， ∴
y1y2
＝－4. x1x2
2
2
B．4 D．－p2
p2
方法2：若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为y＝k(x－)，联立y＝2px
2pkpy1y22
得kx－(kp＋2p)x＋＝0，则x1x2＝.所以y1y2＝－p.故＝－4.
44x1x2
22
2
22
2
答案：A
x
6．(2017·河北邯郸一模)已知M(x0，y0)是曲线C：－y＝0上的一点，F是曲线C的
2
→→
焦点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若MF·MN<0，则x0的取值范围是( )
2
A．(－1,0)∪(0,1) C．(0,1)
B．(－1,0) D．(－1,1)
?1?根据题意可知，2
解析：由题意知曲线C为抛物线，其方程为x＝2y，所以F?0，?，N(x0,0)，
?2?
→→→
11???1?x0≠0，MF＝?－x0，－y0?，MN＝(0，－y0)，所以MF·MN＝－y0?－y0?<0，即0 点M在抛物线上，所以有0<<，又x0≠0，解得－1 22 答案：A 二、填空题 xy 7．已知抛物线x＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A、B两点， 33 2 2 2 2 → 若△ABF为等边三角形，则p＝________. 22xy?p，－p? 解析：由题意知B?，代入方程－＝1得p＝6. 2?33?3? 答案：6 8．(2017·沈阳第一次质检)已知抛物线x＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________. 解析： 2 23令l与y轴交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，BF＝2，所以AB＝.设P(x0， 323142 y0)，则|x0|＝，代入x＝4y中，则y0＝，故|PF|＝|PA|＝y0＋1＝. 333 4 答案： 3 9．已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为____________． 解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＝2x1，y2＝2x2，两式相减得y1－y2＝y1－y22 2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x x1－x2y1＋y2－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 10．已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线|AF| C在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________． |BF| 2 2 2 2 2 2 解析：设|AF|＝m，|BF|＝n，则|BC|＝n，|AD|＝m，|AE|＝m－n，|AF|＋|BF|＝m＋n.m－nm|AF| 在Rt△ABE中，由于∠BAE＝60°，所以cos60°＝，解得＝3，即的值等于3. m＋nn|BF| 答案：3 三、解答题 11．如图，已知抛物线y＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程． 2 解：设直线OA的方程为y＝kx，k≠0， 1 则直线OB的方程为y＝－x， k ??y＝kx，由?2 ??y＝2px， 2p 得x＝0或x＝2. k ?2p2p?2 ∴A点坐标为?2，?，同理得B点坐标为(2pk，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8， ?kk? k＋1??4p24＝1， ①k可得???4p2k2k2＋1＝64， ②②÷①得k＝64，即k＝4. 6 2 2 则p＝ 2 k 2 164 ＝. 2 k＋15 25 又p>0，则p＝， 5 452 故所求抛物线方程为y＝x. 5 12．(2017·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x＝2py(p>0)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M. →→(1)求OA·OB； 322 (2)设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为p，求直线AB的斜 3率k. x＝2py，??p 解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?p 2y＝kx＋，?2? ??x1＋x2＝2pk， x－2pkx－p＝0，则?2 ?x1·x2＝－p，? 2 2 2 2 得 32 ∴OA·OB＝x1·x2＋y1·y2＝－p. 4 xx1x22 (2)由x＝2py，知y′＝，∴抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为，，∴直 pppx1x2 线AM的方程为y－y1＝(x－x1)，直线BM的方程为y－y2＝(x－x2)，则可得 ppp?1?2 M?pk，－?.∴kMF＝－，∴直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|＝k＋1|x1－x2| 2?k? 1?1?22222 ＝k＋1·4pk＋4p＝2p(k＋1)，用－代替k得，|CD|＝2p?2＋1?，四边形ACBD的面 k?k?1?32211322?22 积S＝·|AB|·|CD|＝2p?2＋k＋2?＝p，解得k＝3或k＝，即k＝±3或k＝±. k?3233? →→ 1．(2017·广西质检)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y＝4x相交于A，B两点，且|PA|1 ＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为( ) 2 2
2018届高考数学（文）大一轮复习检测：第八章 平面解析几何 课时作业54
