f=3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2;
然后调用fminunc函数求[1，1]附近f (x)函数的最小值： >> x0=[1,1];
>> [x,fval]=fminunc(@Ex10071,x0)
Warning: Gradient must be provided for trust-region method; using line-search method instead.
> In E:\\matlab6p1\\toolbox\\optim\\fminunc.m at line 211 Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX x =
1.0e-008 *
-0.7591 0.2665 fval =
1.3953e-016
下面用提供的梯度g最小化函数，修改M文件为Ex10072.m： function [f,g]=Ex10072(x)
f=3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2; if nargout>1
g(1)=6*x(1)+2*x(2); g(2)=2*x(1)+2*x(2); end
下面通过将优化选项结构options.GradObj设置为’on’来得到梯度值。 >> options=optimset('GradObj','on'); >> x0=[1,1];
>> [x,fval]=fminunc(@Ex10072,x0,options) Optimization terminated successfully:
First-order optimality less than OPTIONS.TolFun, and no negative/zero
curvature detected
x =
1.0e-015 *
0.1110 -0.8882 fval =
6.2862e-031
x122
例10-8 求函数f (x) = e (4x1+2x2+4x1x2+2x2+1)的最小值。 解：在Matlab中实现：
>>[x,fval,exitflag,output]=fminunc('exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1)',[-1,1])
Warning: Gradient must be provided for trust-region method; using line-search method instead.
> In E:\\matlab6p1\\toolbox\\optim\\fminunc.m at line 211 Optimization terminated successfully:
Current search direction is a descent direction, and magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun x =
0.5000 -1.0000 fval =
1.3028e-010 exitflag = 1 output =
iterations: 7
funcCount: 40 stepsize: 1
firstorderopt: 8.1998e-004
algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search' 例10-9 求无约束非线性问题
222
f (x) = 100 (x2-x1)+(1-x1) x0 = [-1.2, 1] 解：在Matlab中实现： >> x0=[-1.2,1];
>> [x,fval]=fminunc('100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2',x0) Warning: Gradient must be provided for trust-region method; using line-search method instead.
> In E:\\matlab6p1\\toolbox\\optim\\fminunc.m at line 211 Optimization terminated successfully:
Current search direction is a descent direction, and magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun x =
1.0000 1.0000 fval =
1.9116e-011
10.2.2 二次规划
数学模型：如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这种规划为二次规划。其数学模型为
1TxHx?fTx x2 A?x?b
Aeq?x?beq lb?x?ub
其中，H，A和Aeq为矩阵，f，b，beq，lb，ub和x为向量。
函数：quadprog
功能：求解二次规划问题。 格式：x = quadprog(H,f,A,b)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options,p1,p2,...) [x,fval] = quadprog(...)
[x,fval,exitflag] = quadprog(...)
[x,fval,exitflag,output] = quadprog(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...) 说明：
x = quadprog(H,f,A,b) 返回向量x，最小化函数1/2*x’*H*x+f’*x，其约束条件为A*x<=b。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) 仍求上面的解，但添加了等式约束条件Aeq*x = beq。 x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 定义设计变量的下界lb和上界ub，使得lb<=x<=ub。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) 同上，并设置初值x0。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 根据options参数指定的优化参数进行最小化。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options,p1,p2,...) 将参数P1，P2等直
min接输给Hessian乘子函数，如果存在，用options参数中的HessMult属性指定。
[x,fval] = quadprog(...) 返回解x处的目标函数fval = 1/2*x’*H*x+f’*x。 [x,fval,exitflag] = quadprog(...) 返回exitflag参数，描述计算的退出条件。 [x,fval,exitflag,output] = quadprog(...) 返回包含优化信息的结构输出output。 [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...) 返回解x处包含Lagrange乘子的lambda参数。
各变量的意义同前。 注意：
（1）一般地，如果问题不是严格凸性的，用quadprog函数得到的可能是局部最优解； （2）如果用Aeq和Beq明确地指定等式约束，而不是用lb和ub指定，则可以得到更好的数值解；
（3）若x的组分没有上限或下限，则quadprog函数希望将对应的组分设置为Inf（对于上限）或-Inf（对于下限），而不是强制性地给予上限一个很大的数或给予下限一个很小的负数；
（4）对于大型优化问题，若没有提供初值x0，或x0不是严格可行，则quadprog函数会选择一个新的初始可行点；
（5）若为等式约束，且quadprog函数发现负曲度(negative curvature)，则优化过程终止，exitflag的值等于-1；
（6）此时，显示水平只能选择’off’和’final’，迭代参数’iter’不可用； （7）当问题不定或负定时，常常无解（此时exitflag参数给出一个负值，表示优化过程不收敛）。若正定解存在，则quadprog函数可能只给出局部极小值，因为问题可能是非凸的；
（8）对于大型问题，不能依靠线性等式，因为Aeq必须是行满秩的，即Aeq的行数必须不多于列数。若不满足要求，必须调用中型算法进行计算；
（9）大型化问题 大型化问题不允许约束上限和下限相等，如若lb (2)= =ub (2)，则给出以下出错信息：
Equal upper and lower bounds not permitted in this large-scale method.Use equality constraints and the medium-scale method instead.
若优化模型中只有等式约束，仍然可以使用大型算法；如果模型中既有等式约束又有边界约束，则必须使用中型方法。
中型优化问题 当解不可行时，quadprog函数给出以下警告：
Warning: The constraints are overly stringent; there is no feasible solution. 这里，quadprog函数生成使约束条件矛盾最坏程度最小的结果。 当等式约束不连续时，给出下面的警告信息：
Warning: The equality constraints are overly stringent; there is no feasible solution.
当Hessian矩阵为负半定时，生成无边界解，给出下面的警告信息：
Warning: The solution is unbounded and at infinity; the constraints are not restrictive enough.
这里，quadprog函数返回满足约束条件的x值。 例10-10 求解下面的最优化问题： 目标函数
f(x)?122x1?x2?x1x2?2x1?6x2 2约束条件
x1?x2?2 ?x1?2x2?2 2x1?x2?3
0?x1,0?x2
解：首先，目标函数写成下面的矩阵形式：
?x1??1?1???2?x?f? H??，，?x? ???6??12?2?????在Matlab中实现： >> H=[1 -1;-1 2]; >> f=[-2;-6];
>> A=[1 1;-1 2;2 1]; >> b=[2;2;3]; >> lb=zeros(2,1);
>> [x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)
Warning: Large-scale method does not currently solve this problem formulation, switching to medium-scale method.
> In E:\\matlab6p1\\toolbox\\optim\\quadprog.m at line 213 Optimization terminated successfully. x =
0.6667 1.3333 fval = -8.2222 exitflag = 1 output =
iterations: 3
algorithm: 'medium-scale: active-set' firstorderopt: [] cgiterations: [] lambda =
lower: [2x1 double] upper: [2x1 double] eqlin: [0x1 double] ineqlin: [3x1 double] >> lambda.lower ans = 0 0
>> lambda.ineqlin ans =
3.1111 0.4444 0
10.2.3 有约束规划
函数：fmincon
功能：求多变量有约束非线性函数的最小值。 数学模型：
minf(x)
x c(x)?0 ceq(x)?0 A?x?b
Aeq?x?beq lb?x?ub
其中，x，b，beq，lb和ub为向量，A和Aeq为矩阵，c(x)和ceq(x)为函数，返回标量。f(x)，c(x)和ceq(x)可以是非线性函数。 格式：x = fmincon(fun,x0,A,b)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...) [x,fval] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(...) 说明：
fmincon 求多变量有约束非线性函数的最小值。该函数常用于有约束非线性优化问题。 x = fmincon(fun,x0,A,b) 给定初值x0，求解fun函数的最小值点x。fun函数的约束条件为A*x<=b，x0可以是标量、向量或矩阵。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) 最小化fun函数，约束条件为A*x<=b和Aeq*x = beq。若没有不等式存在，则设置A = [ ]，b = [ ]。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 定义设计变量x的下界lb和上界ub，使得lb<=x<=
ub。若无等式存在，则令Aeq = [ ]，beq = [ ]。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) 在上面的基础上，在nonlcon参数中提供非线性不等式c (x)或等式ceq (x)。fmincon函数要求c (x)<=0且ceq (x) = 0。当无边界存在时，令lb = [ ]和（或）ub = [ ]。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) 用options参数指定的参数进行最小化。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...) 将问题参数P1，P2等直接传递给函数fun和nonlcon。若不需要参数A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon和options，将它们设置为空矩阵。
[x,fval] = fmincon(...) 返回解x处的目标函数值。
[x,fval,exitflag] = fmincon(...) 返回exitflag参数，描述计算的退出条件。 [x,fval,exitflag,output] = fmincon(...) 返回包含优化信息的结构输出output。 [x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...) 返回解x处包含Lagrange乘子的lambda参数。
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...) 返回解x处fun函数的梯度。
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(...) 返回解x处fun函数的Hessian矩阵。
·nonlcon参数
该参数计算非线性不等式约束c (x)<=0和非线性等式约束ceq (x) = 0。nonlcon参数是一个包含函数名的字符串。该函数可以是M文件、内部文件或MEX文件。它要求输入一个向量x，返回两个变量——解x处的非线性不等式向量c和非线性等式向量ceq。例如，若nonlcon = ‘mycon’，则M文件mycon.m具有下面的形式：
function [c, ceq] = mycon (x)
c = … %计算x处的非线性不等式 ceq =… %计算x处的非线性等式 若还计算了约束的梯度，即
options = optimset (‘GradConstr’, ‘on’)
Matlab在最优化问题中的应用
