九年级第十三周材料
二次函数基础定义
知识点一：二次函数的定义
2形如y?ax?bx?c(a?0)【注意：二次项的系数a?0；x的最高次幂为2】
例题：若y??a?1?xa?1?x?3二次函数，则a的值为 .
2【变式训练】若y??m?1?xm2例题：y?x?4x?5
?1?2x?1二次函数，则m的值为 .
知识点二：“一般式”化“顶点式”
方法一：y?x?4x?5?x?2?x?2?2?2?5?(x?2?x?2?2)?2?5?(x?2)?1
22222222b4ac?b2b24ac?b22??2,?1，y?x?4x?5?(x?)??(x?2)2?1 方法二：?2a4a2a4a【变式训练】把下列二次函数化成顶点式
①y?x?2x?3； ②y?x?12x?1； ③y?2x?4x?7
知识点三：开口方向，对称轴，顶点坐标，最大（小）值，增减性 【温馨提示】形状相同，则二次项的系数a相等 y?ax2?bx?c 222开口方向 对称轴 x??b 2a 顶点坐标 b4ac?b2(?,)2a4a 最大（小）值 最小值4ac?b 4a24ac?b最大值 4a y随x增大而增大 b 2ab 2a y随x增大而减小 x??b 2a a >0 a <0 向上 向下 2x??x??x??b 2a【变式训练】完成下列表格
函数 y?x2?6x?4开口方向 对称轴 顶点坐标 y随x增大而增大时，x的取值范围 最大（小）值 y??5(x?1)2?1 知识点四：二次函数与x轴交点的个数及交点的坐标，与y轴的交点坐标
22 【温馨提示】1.对于二次函数y?ax?bx?c，当△=b?4ac>0，图像与x轴有两个交点；当△
=b?4ac=0，图像与x轴有一个交点；当△=b?4ac<0，图像与x轴没有交点。2.求二次函数
22y?ax2?bx?c与x轴的交点坐标就是令y=0，求出x1，x2，则交点坐标为（x1，0），
2（x2，0）；二次函数y?ax?bx?c与y轴的交点坐标就是令x=0，求出y，则交点坐标为（0，y）；
【变式训练】完成下列表格
1
九年级第十三周材料
函数 y?x2?6x?5 y??x2?2x?1 与x轴交点个数 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标
知识点五：二次函数图像的平移
【温馨提示】二次函数图像的平移其实就是顶点的平移
22例题：二次函数y?x?6x?1的图像经过怎样平移能够变成y?x?4x?5
22【分析】y?x?6x?1的顶点坐标为（－3，－8），y?x?4x?5的顶点坐标为（2，1）.点（－3，2－8）向右平移5个单位，再向上平移9个单位变成（2，1），所以y?x?6x?1向右平移5个单位，再2向上平移9个单位变成y?x?4x?5
【变式训练】完成下列表格 平移前函数 y?(x?3)2?4 y??x2?2x?1 平移方式 先向 平移 个单位，再向 平移 单位 先向 平移 个单位，再向 平移 单位 平移后函数 y?(x?2)2?3 y??x2?4x?5
知识点六：待定系数法求二次函数的解析式
2【温馨提示】一般知道三个点的坐标，设二次函数的解析式为y?ax?bx?c，然后将三个点的坐标代2入y?ax?bx?c，得到一个三元一次方程组；如果知道两个点的坐标，其中一个点为顶点(m,n)，则22设二次函数的解析式为y?a(x?m)?n，再把另一个点的坐标代入y?a(x?m)?n求出a的值；若
知道三个点的坐标，其中有两个点（x1，0），（x2，0）在x轴上，则可设y?a(x?x1)(x?x2)，再把另一个点的坐标代入y?a(x?x1)(x?x2)，求出a的值。 【变式训练】
1、已知抛物线y?ax?bx?c经过(－1，2)、(1，－1)、(0，3)三点，求抛物线的函数关系式。
2、已知二次函数的顶点坐标是（1，－2），且图像经过(3，5)三点，求二次函数的解析式。
2 2
九年级第十三周材料
二次函数图像基础练习题
1.二次函数y?x2?bx?c的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，此拋物线的对称轴是（ ）
A．x＝4 B. x＝3 C. x＝－5 D. x＝－1
2.已知a－b＋c=0 ，9a＋3b＋c=0,则二次函数y=ax2＋bx＋c的图像的顶点可能在（ ）
A.第一或第二象限 B.第三或第四象限 C.第一或第四象限 D.第二或第三象限
3.已知M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y?1上，点N在直线y?x?3上，设2x点M的坐标为（a，b），则二次函数y??abx2?(a?b)x（ ）。
9999A. 有最小值 B. 有最大值? C. 有最大值 D. 有最小值?
22224.抛物线y??2x2?8x?1的顶点坐标为（ ）
（A）（-2，7） （B）（-2，-25） （C）（2，7） （D）（2，-9）
5．在平面直角坐标系中，先将抛物线y?x2?x?2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．y??x2?x?2 B．y??x2?x?2 C．y??x2?x?2 D．y?x2?x?2 6．二次函数y??3x2?6x?5的图象的顶点坐标是（ ） A．(?18)，
B．(18)，
C．(?1，2)
D．(1，?4)
x
A(3，0) y 7.抛物线y=x2一3x+2与y轴交点的坐标是( )
A．(0，2) B．(1，O) C．(0，一3) D．(0，O) 8.如图所示是二次函数y?ax2?bx?c图象的一部分，
图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为x?1，给出四个结论：
O x?1 第8题图
①b2?4ac；②bc?0；③2a?b?0；④a?b?c?0，其中正确结论是（ ） A．②④
B．①③
C．②③
D．①④
9.二次函数y?(x?1)2?2的图象上最低点的坐标是
A．(-1，-2) B．(1，-2) C．(-1，2) D．(1，2)
10.已知=次函数y＝ax2+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac， a+b+c，4a－2b+c， 2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为（ ） A．2
3
B 3 C、4 D、5
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11.二次函数y=(x+1)2 +2的最小值是（ ）
2A、 2 B、1 C、-3 D、
32
12.已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc＞0 ②2a+b＜0 ③4a－2b+c＜0 ，其中正确结论的个数为（ ） A、0个 B、3个 C、2个 D、1
y y
1
x
1 －1 x O －1 Ｏ 1 2 x
12题 13题 15题
13.小强从如图所示的二次函数y?ax2?bx?c的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）a?0；（2）c?1；（3）b?0；（4）a?b?c?0；（5）a?b?c?0． 你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14.已知a?0，在同一直角坐标系中，函数y?ax与y?ax2的图象有可能是（ ）
yy?1?1yO1yx?1O1xO1x?1O1xA． B． C． D． 15.二次函数y?ax2?bx?c的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是 A．a＜0 B.abc＞0 C.a?b?c＞0
D.b2?4ac＞0
16.在平面直角坐标系中，将二次函数y?2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（ ）
A．y?2x2?2 B．y?2x2?2 C．y?2(x?2)2 D．y?2(x?2)2 17.抛物线y?a(x?1)(x?3)(a?0)的对称轴是直线（ ） A．x?1
B．x??1
C．x??3
D．x?3
x y 18.已知二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象如图所示， 有下列四个结论：①b?0②c?0③b?4ac?0④a?b?c?0， 其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
23 O 1
4
九年级第十三周材料
19.二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示， 对称轴是直线x?1，则下列四个结论错误的是（ ） ．．A．c?0 B．2a?b?0 C．b2?4ac?0 D．a?b?c?0
y 1 ?1 O 1 x 20.将抛物线y＝2x2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）（ 19题图） A．y＝2x2＋3 B．y＝2x2－3 C．y＝2（x＋3）2 D．y＝2（x－3）2
21.将抛物线y?2x2向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A．y?2(x?1)2
B．y?2(x?1)2
C．y?2x2?1
D．y?2x2?1
22.图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A．y??2x2 B．y?2x2
1C．y??x2
21D．y?x2
2
12图6（1） 图6（2）
23.如图9, 已知抛物线y?x2?bx?c与x轴交于A (－4，0) 和B(1，0)两点，与y轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF
面积的2倍时，求E点的坐标;
y
A
O C
x
5
二次函数的图像专项练习题
