第四讲 明快简捷—构造方程的妙用
有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是: 1．利用根的定义构造
当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根． 2．利用韦达定理逆定理构造
若问题中有形如x?y?a，xy?b的关系式时，则x、y可看作方程z2?az?b?0的两实根． 3．确定主元构造
对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程． 成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．
注: 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法． 【例题求解】
【例1】 已知x、y是正整数，并且xy?x?y?23，x2y?xy2?120，则x2?y2? ．
思路点拨 x2?y2?(x?y)2?2xy，变形题设条件，可视x?y、xy为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．
【例2】 若ab?1，且有5a2?2001a?9?0及9b2?2001b?5?0，则 A．
9200120015 B． C．? D．? 5959a的值是( ) b
52001?9?0，思路点拨 第二个方程可变形为2?这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程bb入手．
【例3】 已知实数a、b满足a2?ab?b2?1，且t?ab?a2?b2，求t的取值范围．
思路点拨 由两个等式可求出a?b、ab的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．
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【例4】 已知实数a、b、c满足a?b?c?2，abc?4． (1)求a、b、c中最大者的最小值； (2)求a?b?c?3的最小值．
思路点拨 不妨设a≥b，a≥c，由条件得b?c?2?a，bc?4．构造以b、c为实根的一元二次方程，通a过△≥0探求a的取值范围，并以此为基础去解(2)．
注: 构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式， 缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．
【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． (2003年全国初中数学联赛试题)
思路点拨 设前后两个二位数分别为x，y，则有(x?y)2?100x?y，将此方程整理成关于x(或y)的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定y (或x)的取值范围．
学历训练
1．若方程m2x2?(2m?3)x?1?0的两个实数根的倒数和是s，则s的取值范围是 ．
2．如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程x2?(2m?1)x?4(m?1)?0的两个根，则m的值是 ．
3．已知a、b满足a2?2a?1?0，b2?2b?1?0，则
ab?= ． ba4．已知?2???1?0，?2???1?0，，则??????的值为( )
A．2 B．-2 C．-1 D． 0
5．已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，则四边形ABCD的面积S的最小值为( )
A．21 B． 25 C．26 D． 36
6．如图，菱形A6CD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程的根，则m的值为( )
A．一3 B．5 C．5或一3 n一5或3
7．已知p2?2p?5?0，5q2?2q?1?0，其中p、q为实数，求p2?
8．已知x和y是正整数，并且满足条件xy?x?y?71，x2y?xy2?880，求x2?y2的值．
1q2的值．
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9．已知3m2?2m?5?0，5n2?2n?3?0，其中m、n为实数，则m?
10．如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2?c2?2a2?16a?14与bc?a2?4a?5，那么a的取值范围是 ．
11．已知5x2?2y2?2xy?14x?10y?17?0，则x= ，y= ．；
1＝ ． n12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若D、E分别是AB和AB延长线上的两
点，BD=BC，CE⊥CD，则以AD和AE的长为根的一元二次方程是 ．
13．已知a、b、c均为实数，且a?b?c?0，abc?2，求a?b?c的最小值．
??a2?bc?8a?7?014．设实数a、b、c满足?2，求a的取值范围． 2?b?c?bc?6a?6?0?S梯形ABCDS?ABC15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB， (1)求∠B的度数；
?53131113，梯形的高AE=，且． ??82ADBC40 (2)设点M为梯形对角线AC上一点，DM的延长线与BC相交于点F，当S?ADM?DF的长为根的一元二次方程．
1253，求作以CF、3216．如图，已知△ABC和平行于BC的直线DE，且△BDE的面积等于定值k2，那么当k2与△BDE之间满足什么关系时，存在直线DE，有几条?
参考答案
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第五讲 一元二次方程的整数整数解
在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有:
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从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；
从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=k2)，通过穷举，逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；
从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．
注: 一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关． 【例题求解】
【例1】若关于x的方程(6?k)(9?k)x2?(117?15k)x?54?0的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．
思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．
注: 系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．
【例2】 已知a、b为质数且是方程x2?13x?c?0的根，那么 A．
127125123121 B． C． D． 22222222ba?的值是( ) ab思路点拨 由韦达定理a、b的关系式，结合整数性质求出a、b、c的值．
【例3】 试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2?(r?2)x?r?1?0有根且只有整数根．
思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当r?0时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根． 【例4】
当m为整数时，关于x的方程(2m?1)x2?(2m?1)x?1?0是否有有理根?如果有，求出m的值；
如果没有，请说明理由．
思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．
设△=(2m?1)2?4(2m?1)?4m2?4m?5?(2m?1)2?4?n2(n为整数)解不定方程，讨论m的存在性．
注: 一元二次方程ax2?bx?c?0 (a≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=b2?4ac为完全平方
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