（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全
适合中学教师作为辅导教材使用
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第一讲 走进追问求根公式
形如ax2?bx?c?0（a?0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式x1,2?b?b2?4ac内涵丰富: 它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元?2a二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美.
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】
【例1】满足(n2?n?1)n?2?1的整数n有 个.
思路点拨: 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程.
【例2】设x1、x2是二次方程x2?x?3?0的两个根，那么x13?4x22?19的值等于（ ）
A、一4 B、8 C、6 D、0
思路点拨: 求出x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12?3?x1，x22?3?x2.
【例3】 解关于x的方程(a?1)x2?2ax?a?0.
思路点拨: 因不知晓原方程的类型，故需分a?1?0及a?1?0两种情况讨论. 【例4】
设方程x2?2x?1?4?0，求满足该方程的所有根之和.
思路点拨: 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a、b、c、d互不相等，且a?1111?b??c??d??x， 试求x的值. bcda思路点拨: 运用连等式，通过迭代把b、c、d用a的代数式表示，由解方程求得x的值.
注: 一元二次方程常见的变形形式有:
(1)把方程ax2?bx?c?0（a?0）直接作零值多项式代换；
(2)把方程ax2?bx?c?0（a?0）变形为ax2??bx?c，代换后降次；
(3)把方程ax2?bx?c?0（a?0）变形为ax2?bx??c或ax2?c??bx，代换后使之转化关系或整体地消去x.
解合字母系数方程ax2?bx?c?0时，在未指明方程类型时，应分a?0及a?0两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如x?x2?x2.
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走进追问求根公式学历训练
1、已知a、b是实数，且为 .
(x?1)3?x2?12、已知x?3x?2?0，那么代数式的值是 .
x?122a?6?b?2?0，那么关于x的方程(a?2)x2?b2x?a?1的根
3、若x2?xy?y?14，y2?xy?x?28，则x?y的值为 .
4、若两个方程x2?ax?b?0和x2?bx?a?0只有一个公共根，则( )
A、a?b B、a?b?0 C、a?b?1 D、a?b??1
15、当分式有意义时，x的取值范围是( )
?x2?3x?4 A、x??1 B、x?4 C、?1?x?4 D、x??1且x?4 6、方程(x?1)x?1?xx?1?0的实根的个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、3 7、解下列关于x的方程:
(1)(m?1)x2?(2m?1)x?m?3?0； (2)x2?x?1?0； (3)x2?4x?5?6?2x.
8、已知x2?2x?2?0，求代数式(x?1)2?(x?3)(x?3)?(x?3)(x?1)的值.
9、是否存在某个实数m，使得方程x2?mx?2?0和x2?2x?m?0有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由. 注: 解公共根问题的基本策略是: 当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口.
510、若x2?5x?1?0，则2x2?9x?3?2＝ .
x?111、已知m、n是有理数，方程x2?mx?n?0有一个根是5?2，则m?n的值为 . 12、已知a是方程x2?x?2000?0的一个正根. 则代数式3?2000的值为 . 20001?20001?a 3
13、对于方程x2?2x?2?m，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于( )
A、1 B、2 C、3 D、2．5 14、自然数n满足(n2?2n?2)n2?47?(n2?2n?2)16n?16，这样的n的个数是( )
A、2 B、1 C、3 D、4 15、已知a、b都是负实数，且
A、
111b，那么的值是( ) ??aba?b?0a5?11?5?1?5?1?5 B、 C、 D、 2222x4?6x3?2x2?18x?23x?8x?15216、已知x?19?83，求
的值.
17、已知m、n是一元二次方程x2?2001x?7?0的两个根，求(m2?2000m?6)(m2?2002n?8)的值.
18、在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形: 将正方形的各边n等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为
19、已知方程x2?3x?1?0的两根?、?也是方程x4?px2?q?0的根，求p、q的值.
20、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=nS矩形PQRS，其中n为不小于3的自然数．求证:
BS需为无理数. AB1，求n的值. 3281
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参考答案
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