（3）连接AC、CD，求出△ACB是等腰直角三角形即可．
【解答】
解：（1）如图1的正方形的边长是（2）如图2的三角形的边长分别为2，（3）如图3，连接AC，CD， 则AD＝BD＝CD＝∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AC＝BC＝∴∠ABC＝∠BAC＝45°．
＝
＝
，
，面积是10； ，
；
，
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力和动手操作能力．
24．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角
形的性质得出∠ADB＝90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD＝BD＝CD，进而利用正方形的判定得出即可． 【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC＝90°时，
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD＝BD＝CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形．
【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键．
25．（11分）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明； （2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）结论：PB＝PQ，如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．只要证明Rt△PQF≌Rt△PBE即可． （2）结论不变，证明方法类似． 【解答】解：（1）结论：PB＝PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F． ∵P为正方形对角线AC上的点， ∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°， ∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°， ∴∠BPE＝∠QPF， 在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB＝PQ；
（2）结论：PB＝PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点， ∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°， ∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°， ∴∠BPE＝∠QPF， 在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB＝PQ．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全球的三角形解决问题，属于中考常考题型．
2024-2024学年山东省临沂市八年级下学期期中模拟数学试卷(及答案)
