函数的奇偶性与周期性
1.函数的奇偶性
奇函数 偶函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 定义 都有f(-x)=-f(x),那么函数都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做f(x)就叫做奇函数 图象特征 2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×)
(3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(√) (5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.(√)
(6)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.(√) (7)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(×)
(8)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(√) (9)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.(√)
(10)若某函数的图象关于y轴对称,则该函数为偶函数;若某函数的图象关于(0,0)对称,则该函数为奇函数.(√)
关于原点对称 偶函数 关于y轴对称
考点一 判断函数的奇偶性
命题点 用函数奇偶性定义判断 [例1] (1)下列函数为奇函数的是( ) A.y=x B.y=ex C.y=cos x D.y?ex?e?x 解析:对于A,定义域不关于原点对称,故不符合要求;对于B,
f(-x)≠-f(x),故不符合要求;对于C,满足f(-x)=f(x),故不符合要求;对于D, ∵f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),∴y=ex-e-x为奇函数,故选D. 答案:D
(2)下列函数中为偶函数的是( )
1
A.y=x B.y=lg|x| C.y=(x-1)2 D.y=2x
解析:根据奇、偶函数的定义,可得A是奇函数,B是偶函数,C,D为非奇非偶函数. 答案:B
(3)函数f(x)=3-x2+x2-3,则( )
A.不具有奇偶性 B.只是奇函数C.只是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 ?3-x2≥0,
解析:由?2得x=-3或x=3.
?x-3≥0,∴函数f(x)的定义域为{-3,3}.
∵对任意的x∈{-3,3},-x∈{-3,3},且f(-x)=-f(x)=f(x)=0,∴f(x)既是奇函数,又是偶函数. 答案:D
[方法引航] 判断函数的奇偶性的三种重要方法 (1)定义法:
(2)图象法:函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称. (3)性质法:
①“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇·奇”是偶,“奇÷奇”是偶; ②“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶·偶”是偶,“偶÷偶”是偶; ③“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇.
判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=(x+1)
1-x1-x
; (2)f(x)=lg. 1+x1+x
1-x
≥0, 1+x
解:(1)要使函数有意义,则
解得-1<x≤1,显然f(x)的定义域不关于原点对称, ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
1-x(2)由>0?-1<x<1,定义域关于原点对称.
1+x
1+x1-x1?x?1又f(-x)=lg=lg(=-f(x),f(-x)≠f(x).故原函数是奇函数. )=-lg
1-x1+x1?x考点二 函数的周期性及应用
命题点
[例2] (1)下列函数不是周期函数的是( )
A.y=sin x B.y=|sin x| C.y=sin|x| D.y=sin(x+1)
解析:y=sin x与y=sin(x+1)的周期T=2π,B的周期T=π,C项y=sin|x|是偶函数,x∈(0,+∞)与x∈(-∞,0)图象不重复,无周期. 答案:C
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-时,f(x)=log2(x+1),则求f(-2 017)+f(2 019)的值为________. 解析:当x≥0时,f(x+2)=-
1
, f?x?
1
,且当x∈[0,2)f?x?
1.周期性的简单判断 2.利用周期性求函数值 ∴f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.
∴f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,f(2 019)=f(3)=-
1
=-1, f?1?
∴f(-2 017)+f(2 019)=0. 答案:0
[方法引航] (1)利用周期f(x+T)=f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内,以方便代入解析式求值. (2)判断函数周期性的几个常用结论.
①f(x+a)=-f(x),则f(x)为周期函数,周期T=2|a|.
1
②f(x+a)=(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;
f?x?③f(x+a)=-
1
,则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期. f?x?
1.若将本例(2)中“f(x+2)=-________.
解析:由f(x+2)=-f(x)可知T=4∴f(-2 017)=1,f(2 019)=-1,∴f(-2 017)+f(2 019)=0. 答案:0
2.若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R,都有f(x+2)=f(x)且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),求f(-2 017)+f(2 019)的值.
解:由f(x+2)=f(x),∴T=2∴f(2 019)=f(1)=log22=1,f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=1, ∴f(-2 017)+f(2 019)=2.
考点三 函数奇偶性的综合应用
1.已知奇偶性求参数 命题点 2.利用奇偶性、单调性求解不等式 3.利用奇偶性求解析式或函数值 2x+1[例3] (1)若函数f(x)=x是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
2-aA.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞)
2-x+12x+1
解析:因为函数y=f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x=-x.化简可得a=1,
2-a2-a2x+12x+12x+1-3?2x-1?2x-2
则x>3,即x-3>0,即>0,故不等式可化为x<0,即1<2x<2,x2-12-12-12-1解得0<x<1,故选C. 答案:C
1
”变为“f(x+2)=-f(x)”,则f(-2 017)+f(2 019)=f?x?
ax+b21(2)函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=5.
1+x22①确定函数f(x)的解析式;
②用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数; ③解不等式f(t-1)+f(t)<0.
解:①∵在x∈(-1,1)上f(x)为奇函数,∴f(0)=0,即b=0,∴f(x)=
a
2
ax
. 1+x2
22x1又∵f()=5,∴=.解得,a=1.∴f(x)=2,经检验适合题意. 151+x21+41+x2-2x21-x2
2
②证明:由f′(x)=22=22.x∈(-1,1)时,1-x>0,∴f′(x)>0 ?1+x??1+x?∴f(x)在(-1,1)上为增函数.
?-1<t-1<1③由f(t-1)+f(t)<0,得f(t-1)<-f(t),即f(t-1)<f(-t).∴?-1<-t<1
?t-1<-t
1
得0<t<2.
(3)已知f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x3+ln(1+x),则当x<0时,f(x)=( ) A.-x3-ln(1-x) B.x3+ln(1-x) C.x3-ln(1-x) D.-x3+ln(1-x) 解析:当x<0时,-x>0,
f(-x)=(-x)3+ln(1-x),∵f(x)是R上的奇函数,∴当x<0时, f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+ln(1-x)]=x3-ln(1-x). 答案:C
[方法引航] ?1?根据奇偶性求解析式中的参数,是利用f?-x?=-f?x?或f?-x?=f?x?在定义域内恒成立,建立参数关系.
?2?根据奇偶性求解析式或解不等式,是利用奇偶性定义进行转化.
1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是________. 1
解析:a-1+2a=0,∴a=3.
1
f(x)=ax2+bx为偶函数,则b=0,∴a+b=3. 1
答案:3
(完整版)函数的奇偶性与周期性
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