2010年上海市中学生业余数学学校
预备年级招生考试
【第1题】
12
若分数的分子、分母各加X，分数变成，则X的值是_______。
53【分析与解】
（方法一）
1?X2
?5?X3
3?1?X??2?5?X?
X?7
即X的值是7。 （方法二）
约分之前，分母比分子大5?1?4；
1
分数的分子、分母各加X，分数的分子为4??3?2??2?8，分母为4??3?2??3?12；
5即
1?X8
?； 5?X12
故X的值是7。
【第2题】
数30可以写成三个不同正整数的平方和：
30?12?22?52
试将数42，46也写成三个不同正整数的平方和： 42?_____________；46?_____________。 【分析与解】
12?1，22?4，32?9，42?16，52?25，62?36； 先考虑最大的整数的平方；
经尝试，42?12?42?52，46?12?32?62。
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城隍喵
【第3题】
如图，x'，y'，z'和x，y，z分别是三角形的三个外角和三个内角，若x':y':z'?4:5:6，则x:y:z?_______。
z'zxx' y y'
【分析与解】
因为x':y':z'?4:5:6；
所以设x'?4k?，y'?5k?，z'?6k?（k?0）；
则x?180??x'??180?4k?，y?180??y'??180?5k?，z?180??z'??180?6k?； 三角形内角和等于180?；?180?4k???180?5k???180?6k??180； 三角形外角和等于360?；4k?5k?6k?360； k?24；
?
?
?
x?84?，y?60?，z?36?； x:y:z?84?:60?:36??7:5:3。
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【第4题】
如图，一个U形的道路。道路的宽度都是3m，周长是86m，则它的面积是_______m2。
3m3m3m
【分析与解】
长方形正方形长方形长方形正方形长方形
如图所示，将L型图形变换成长方形（图形的宽度相等），变换前后的面积和周长均不发生改变。
3m40m
同理，可将U型图形变换成长方形，变换前后的面积和周长均不发生改变。 大长方形的一条为3m，另一条边为86?2?3?40m； 大长方形的面积为40?3?120m2； 故这个个U形的道路的面积是120m2。
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【第5题】
从1到2010这2010个正整数中，能被8整除，且不能被9整除的正整数有_______个。 【分析与解】
2010?8?251??2，
从1到2010这2010个正整数中，能被8整除的正整数有251个；
?8,9??72，2010?72?27??66，
从1到2010这2010个正整数中，既能被8整除，又能被9整除的正整数有27个；
从1到2010这2010个正整数中，能被8整除，且不能被9整除的正整数有251?27?224个。
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【第6题】
如图，长方形ABCD中，AB?24cm，BC?36cm，E是BC的中点，BF?DG?6cm，H为AD上任意一点，则阴影部分的总面积是_______cm2。 AHDGFBEC
【分析与解】 AHDGFBEC
分别连接BH、CH；
S长方形ABCD?BC?AB?36?24?864cm2； S?BCH?S长方形ABCD?2?864?2?432cm2；
111
E是BC的中点，BE?BC?；S?BEH?S?BCH??432??216cm2；
222S?ABH?S?CDH?S长方形ABCD?2?864?2?432cm2；
11
BF?DG?6cm，AB?DC?24cm，BF?AB?，DG?DC?；
44S?FBH?S?ABH?
1111
，S?GDH?S?CDH?，S?FBH?S?GDH??S?ABH?S?CDH???432??108cm2； 4444
S阴影?S?BEH?S?FBH?S?GDH?216?108?324cm2。
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年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试及参考答案
