7-15证明：在静电场中，凡电场线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处处相等。（提示：利用环
路定理和高斯定理） 证：设电场方向水平向右。在一电场线上任取两点1和2，作两底面足够小的圆柱面，如图。由高斯定理
??????E?dS?E?dS?E??2?1?dS?E2??S?E1??S?0
S?S?S12?E?E2?E1 即同一电场线上任意两点的电场强度相等。
作一矩形回路abcd，其中ab、cd与电场线垂直，bc、da与电场线平行，即有
Ea?Ed，Eb?Ec
由静电场环路定理
abadc?E???????????E?dl??E?dl??E?dl??E?dl??E?dl
bccddab ??bc????E?dl??E?dl?Eb?l?Ea?l?0
da?Eb?Ea 即不同电场线上任意两点的电场强度相等。所以命题成立。
电场力的功和电势能
7-16边长为a的正三角形, 三个顶点上各放置q，-q和-2q的点电荷，求此三角形重心上的电势。将一电
量为+Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力做功多少？ 解：顶点到重心的距离r?3q?q?2q3qa，重心的电势为 U? ????34??0r4??0r4??0r2??0a外力所做的功 A外?Q(U0?U?)?QU0??3qQ
2??0a7-17如图7-17所示，三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一直线等距放置，且Q1=Q3=Q，其中任一点电荷所受合力均
为零。求Q1、Q3固定情况下，（1）Q2在O点时的电势能；（2）将Q2从O点推到无穷远处，外力所做的功。
Q3 Q1 Q2 Q3Q1Q??解：（1）Q1和Q3在O点产生的电势为 U0? O 4??0d4??0d2??0dd d 因为Q1所受合力为零，即
Q1Q3Q1Q2??0，
4??0d24??0(2d)2图7-17
111Q2解得 Q2??Q3???Q，Q2在O点的电势能 W?Q2U0??QU0??
4448??0d（2）将Q2从O点推到无穷远处，外力所做的功 A外?Q2(U??U0)??Q2U0?3qQ8??0a
7-18一半径为R的无限长带电棒，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为 。（1）求电场分布；（2）如
图7-18所示（沿棒轴向俯视），若点电荷q0由a点运动到b点，则电场力做功为多少？ 解：（1）取长为l、半径为r且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面。由高斯定理
r?R ?S??1E1?dS?1?0?V?dV?1?0?V?2?rldr
R r1 a 图7-18
r2 b ?????rl 得 E1?r 即 E1?2?rl??02?02??R2?? ??Rl 得 E2?rr?R E2?2?rl??02?0r12（2）半径相同处的电势相等
Aab?q0?ba2????R?b?R?rr2?RE?dl?q0?E1?dl?q0?E2?dl?q0?dr?q0?dr
aRr12?R2?r00q0?2q0?R2r22 ?(R?r1)?ln
4?02?0R电势
7-19题7-18中，若取棒的表面为零电势，求空间的电势分布。 解：取棒表面为零电势，即UR?0
r?R 时，U1??Rr??R?r?E1?dl??dr?(R2?r2)
2?04?0rr???R2?R2RE2?dl???dr?ln
2?0r2?0rRr?R 时，U2??Rr7-20如图7-20所示，电荷面密度分别为 + 和 - 的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与x轴
相交于x1= a 和x2= -a两点。设坐标原点O处电势为零，求空间的电势分布。 解： x??a：E1?0；?a?x?a：E2?0?????i；x?a：E3?0。 ?0+? -? ??0???? x??a：U1??E?dl??E2?dl?a
x?a?0??x????a?x?a：U2??E2?dl???E2?dl??x0x0-a O 图7-20
a x ?0
??0??a?? x?a：U3??E?dl??E2?dl???dl??a
0xa0?0?0
-2
7-21两根半径分别为R1=3.010m和R2=0.10m的长直同轴圆柱面，带有等量异号的电荷，两者的电势差
为450V。求圆柱面单位长度上所带电荷 。 解：由高斯定理可求得两柱面间的电场强度 E??
2??0r?U12R2??R2?drR???E?dl???ln2?450V，解得 ??2.1?10?8c?m?1
2??0r2??0R1R1R17-22如图7-22所示的带电细棒，电荷线密度为，其中BCD为半径为R的半圆，AB=DE=R，求（1）半圆
上的电荷在半圆中心O处产生的电势；（2）直细棒AB和DE在半圆中心O处产生的电势；（3）O处的总电势。
C dq??R?解：（1）取电荷元 dq??dl，?U1? ??R 4??0R4??0R4?0?（2）在AB上距O点为r处，取电荷元 dq??dl
A B
O D 图7-22
E
?U2??dq4??0r2R???dr??ln2 。同理DE在点产生的电势 ?ln2OU3?4?4??r4???000R（3）U0?U1?U2?U3??(??2ln2) 4??07-23半径分别为R1和R2的两个同心球面，分别带有电荷q1和q2。求：（1）各区域电势分布，并画出分布
-8-8
曲线；（2）两球面间电势差；（3）若R1=10cm、R2=30cm、q1=10C、q2=1.510C，离球心20cm和50 cm处的电势为多少？ 解：（1）由高斯定理可得电场分布为
??r?R1：E1?0； R1?r?R2：E2?电势分布为
?； r?：??q1?q2?。
ererR2E24??0r24??0r2q1r?R1： U1???r?????R2?????E?dl??E1?dl??E2?dl??E3?dl
rR1R2?0??q14??0R1(1?1R2)?q1?q2q1q2??
4??0R24??0R14??0R2R1?r?R2： U2??r??R2?????E?dl??E2?dl??E3?dl?rR2q14??0r?q24??0R2
??q1?q2 r?R2： U3??E3?dl?4??r0r?(2) U12????E2?dl?R1R2q4??0(11?) R1R21?8q1q21.5?10?8109(?)?9?10?(?)?900V (3) r?20cm即在两球面之间 U20?4??0rR20.20.3?8?8q1?q210?1.5?109()?9?10?()?450V r?50cm即在两球面之外 U50?4??0r0.51电场强度与电势的关系
7-24已知一电场的电势函数为U = 2x+y，求电场强度E。
3
?????????U?U2??1，?E?Exi?Eyj??6x2i?j 解：Ex????6x，Ey???y?x????U??U??U?2i?j?k)??(6xi?j) 或 E??(?x?y?z7-25试计算半径为R、电荷线密度为?的均匀带电细圆环轴线上的电势分布，并由电势分布求出轴线上的
电场强度分布。 解：在圆环上任取一线元，带电量为dQ??dl，dQ在轴线上距圆环中心为x点产生的电势为 dU?dQ?dl?， ?U?4??0r4??0R2?x2?dU??2?R4??0R?x22??R2?0R?x22
????U?Rx?Rx Ex??， ?E?Ei?ix?x2?0(R2?x2)3/22?0(R2?x2)3/2
大学物理习题及综合练习答案详解
