库仑定律 7-1 把总电荷电量为Q的同一种电荷分成两部分，一部分均匀分布在地球上，另一部分均匀分布在月球上，
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使它们之间的库仑力正好抵消万有引力，已知地球的质量M＝5.98l0kg，月球的质量m=7.34l022kg。（1）求 Q 的最小值；（2）如果电荷分配与质量成正比，求Q的值。 解：（1）设Q分成q1、q2两部分，根据题意有 kq1q21Mmk??G，其中
4??0r2r2即 Q?q1?q2?GMmGMm?q2。求极值，令Q'?0，得 1?2?0 q2kq2k?q2?GMmGMm?5.69?1013C，q1??5.69?1013C，Q?q1?q2?1.14?1014C kq2kMmGMmGMm2?，q1q2? ?Mq2?mq1q2?m q1q2kk（2）?Mq2Gm2?5.15?1014C，?Q?q1?q2?5.21?1014C 解得q2??6.32?1012C， q1?mk7-2 三个电量为 –q 的点电荷各放在边长为 l 的等边三角形的三个顶点上，电荷Q（Q＞0）放在三角形
的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q值应为多大？
?qr解：Q到顶点的距离为 r?31qQl，Q与-q的相互吸引力为 F1?， 234??0rll1q2两个-q间的相互排斥力为 F2?
4??0l20rQr?ql?q3q21qQQ?q 据题意有 2F2cos30?F1，即 2?，解得：cos300?2234??0l4??0r1电场强度
7-3 如图7-3所示，有一长l的带电细杆。（1）电荷均匀分布，线密度为+，则杆上距原点x处的线元
dx对P点的点电荷q0 的电场力为何？q0受的总电场力为何？（2）若电荷线密度=kx，k为正常数，求P点的电场强度。
q0 O ? 解：（1）线元dx所带电量为dq??dx，它对q0的电场力为
a P x l dF?q0dqq0?dx1?
4??0(l?a?x)24??0(l?a?x)21q0?4??0q0?ldx??0(l?a?x)24??0a(l?a)
l图7-3
q0受的总电场力 F?q0?0时，其方向水平向右；q0?0时，其方向水平向左
（2）在x处取线元dx，其上的电量dq??dx?kxdx，它在P点的电场强度为
dEP?dq1kxdx?
4??0(l?a?x)24??0(l?a?x)2xdxkla?(?ln) 方向沿x轴正向。 2?04??0(l?a?x)4??0al?al1?EP?k7-4一半径为R的绝缘半圆形细棒，其上半段均匀带电量+q，下半段均匀带电量-q，如图7-4所示，求半
圆中心处电场强度。 解：建立如图所示的坐标系，由对称性可知，+q和-q在O点电场强度沿x轴的分量之和为零。取长为dl的线元，其上所带电量为
dq??dl?q1?R22q2q1dqdl?Rd??d?，?dE? 方向如图
4??0R2?R?dqqd?cos???cos?
4??0R22?2?0R21+ + + + R y方向的分量 dEy??图7-4
??E??2?q2?2?0R2??20?cos?d?j??q?2?0R2?j
7-5一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为 ，求球心处电场强度。 解：沿半球面的对称轴建立x轴，坐标原点为球心O。
在球面上取半径为r、宽为dl的环带，如图，其面积为
RrdS?2?rdl?2?r?Rd?，所带电荷 dq??dS???2?r?Rd?
Odq在O处产生的电场强度为，dE?1xdq4??0(x2?r2)32??Rxrd? 3222?0(x?r)2x?r?Rsin?，x?Rcos? ?dE??sin?cos?d? 2?0???因为球面上所有环带在O处产生的电场强度方向相同，?E?2?0?20???sin?cos?d?i?i
4?07-6一无限大均匀带电薄平板，面电荷密度为 ，平板中部有一半径为R的圆孔, 如图7-6所示。求圆孔
中心轴线上的场强分布。（提示：利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理） 解：利用补偿法，将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，即等效为一个
? 完整的带电无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。
R ???en无穷大平板的电场为 E1?2?0P 图7-6
??(1?圆盘激发的电场为 E2??2?0?xx2?R2????)en，其中en为平板外法线的单位矢量。
圆孔中心轴线上的电场强度为 E?E1?E2?电通量
?2?0xx2?R2?en
7-7电场强度为E的匀强电场，其方向与半径为R的半球面的对称轴平行，如图7-7所示，求通过该半球
面的电场强度通量。
解：作半径为R的平面S’与半球面S构成一个闭合曲面，由于该闭合曲面内无电荷，由高斯定理
????S?S'??????E?dS??E?dS??E?dS?0
SS'SS'??????S??E?dS???E?dS??E??R2cos???R2E
?ER 图7-7
7-8一边长为a的立方体置于直角坐标系中，如图7-8所示。现空间中有一非均匀电场
???E?(E1?kx)i?E2j，E1、E2为常量，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。
y A F O E z 图7-8
解：?Ez?0 ??OABC??DEFG?0
?ABGF?CDEO?AOEF?BCDG???????E?dS??[(E1?kx)i?E2j]?(dSj)?E2S?E2a2
SS???????E?dS??[(E1?kx)i?E2j]?(?dSj)??E2a2
SSB G C D x ???????E?dS??(E1i?E2j)?(?dSi)??E1a2
SS???????E?dS??[(E1?ka)i?E2j]?(dSi)?(E1?ka)a2
SS整个立方体表面的电场强度通量 ????ii?ka3
高斯定理
7-9有两个同心的均匀带电球面，内外半径分别为R1和R2，已知外球面的电荷面密度为+ ，其外面各处
的电场强度都是零。试求：（1）内球面上的电荷面密度；（2）外球面以内空间的电场分布。 解：作一半径为r的同心球面为高斯面。设内球面上的电荷面密度为?'。
（1）r?R2处：因为外球面外的电场强度处处为零，由高斯定理有
?S?1?E3?dS??0?qi?i1?02(??4?R2??'?4?R12)?0，得 ?'??(R22)? R1（2）由高斯定理
r?R1?E1?0
R1?r?R2 ?S?1?1E2?dS??'?4?R12 即 E2?4?r2??'?4?R12
?0?02?'?4?R12R22R12R2? 方向沿径向反向 ?E2???()????222R14??0r?0r?0r7-10一对无限长的均匀带电共轴直圆筒，内外半径分别为R1和R2，沿轴线方向单位长度的电量分别为1
和2。（1）求各区域内的场强分布；（2）若1＝-2，情况如何？画出此情形下的E ～ r的关系曲线。 解：（1）作一半径为r、长为h的共轴圆柱面为高斯面，由高斯定理有 r?R1?E1?0
R1?r?R2
?S?1??1E2?dS??1h ?E2?2?rh??1h，得 E2??0?0?1?? r2??0rE?1??1??2??? r(?1??2)h 得 E3? r?R2 ?E3?dS?S2??0r?0（2）?1???2时，E1?0，E2?????1??，E3?0 r2??0rR1R2r
7-11设半径为R的球体，电荷体密度 ═ kr（r R），其中k为常量，r为距球心的距离。求电场分
布，并画出E ～ r的关系曲线。
解：作一半径为r的同心球面为高斯面。根据高斯定理
Or?R ?S??1E1?dS?1?0?V?dV?1?0?r0kr?4?r2dr?1?0?kr4
E?kr2?? ?kr 得 E1? 即 E1?4?r?r?04?024?1?r?R ?SE2?dS??02?R0kr?4?r2dr?1?0?kR4
ORr?kR4?? ?kR 得 E2? 即 E2?4?r?r2?04?0r147-12一厚度为d=0.5cm的无限大平板，均匀带电，电荷体密度 ═ 1.010C/m，求（1）平板内外的
电场分布；（2）讨论平板中央以及平板内与其表面相距0.1cm处的电场强度。 解：（1）设中心平面为S0。根据对称性，在距S0处为x处对称地取两面积均为?S的底面作一圆柱形高斯面，其侧面与板面垂直（如图所示），即侧面的电通量为零。
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??1?d?2?x?S， ?E1?x x?时 ?E1?dS?2E1?S?S??200??1d?dd?2???S， ?E2? x?时 ?E2?dS?2E2?S?S?02?02（2）平板中央 x?0，?E0?0
平板内与表面相距0.1cm处，x?0.15cm
xS0?Sx?Sd?x1.0?10?4?1.5?10?34 ?E?V/m ??1.69?10?12?08.85?10???r；7-13一个电荷体密度为 （常量）的球体。（1）证明球内距球心r 处一点的电场强度为E?（2）3?0????a，式中a是若在球内挖去一个小球，如图7-13所示，证明小球空腔内的电场是匀强电场E?3?0球心到空腔中心的距离矢量。
证：（1）作与球体同心的球面为高斯面，根据高斯定理
R ??1?E?dS?S?432?dVE?4?r???r 即 ?0?V?03?P?r?r'O aO’ ?????E?r 矢量式 E?r 得证
3?03?0（2）填充法：设在空腔中填充电荷密度分别为?和-?的电荷球体，形成电荷密度分别为?和-?的大球体和小球体。
对腔内任一点P（如图），由（1）的结果有
??????r； 小球 E2P??r' 大球 E1P?3?03?0????????E?E1P?E2P?(r?r')?a 得证
3?03?0静电场的环路定理
7-14若电场中某一部分电场线的形状是以O点为中心的同心圆弧。证明该部分上各点的电场强度都应与该
点离O点的距离成反比，即E1 r1 = E2 r2 。 证：作一回路abcd，如图。根据静电场环路定理
bcda???????E?dl??E1?dl??E2?dl?E1l1?E2l2?0
l2ar1 r2 即 E1l1?E2l2
O
图7-14
? dbl1r2c?l1?r1? l2?r2?，?E1r1?E2r2 得证
?Or1
大学物理习题及综合练习答案详解
