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2009届高考数学难点突破训练
立体几何
1. 将两块三角板按图甲方式拼好，其中?B??D?90?，?ACD?30?，?ACB?45?，AC?2，现将三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影恰好在AB上，如图乙．
(1)求证：AD?平面BDC； (2)求二面角D?AC?B的大小；
(3)求异面直线AC与BD所成角的大小．
2. 如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，各棱长都等于a，
D、E分别是AC1、BB1的中点，
（1）求证：DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段，并求其长度；
（2）求二面角E?AC1?C的大小； （3）求点C1到平面AEC的距离．
3. 如图，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H．
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（1）求二面角?1?EF?B的正切值；
（2）试在棱B1B上找一点M，使D1M?平面EFB1，并证明你的结论； （3）求点D1到平面EFB1的距离．
4. 如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形，AC⊥CB，∠ABC=45°，侧面
A1ABB1是边长为a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB=60°，E、F分别是AB1、 BC的中点.
（1）求证EF//平面A1ACC1；
（2）求EF与侧面A1ABB1所成的角； （3）求三棱锥A—BCE的体积.
5. 已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点。
（I）求证：DE∥平面ABC；
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（II）求证：B1F⊥平面AEF；
（III）求二面角B1—AE—F的大小（用反三角函数表示）。
6. 在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，
S D=2a，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。
（Ⅰ）求证：四边形EFCD为直角梯形； （Ⅱ）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；
CD（Ⅲ）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？
AB请给出证明。
S
F E M
C D
AB7. 如图，已知正四棱柱边长为3，侧棱长为4，连结交
于E。
，过A作
的底面
，垂足为F，且AF的延长线
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（I）求证： （II）求三棱锥 （III）求二面角
平面AEC
的体积
的正切值。
8. 如图．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成角为
π，且侧面ABB1A1垂直于底面ABC． 3
（1）求证：点B1在平面ABC上的射影为AB的中点； （2）求二面角C-AB1-B的大小；
（3）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论．
9. 如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．
（1）求cos（BE，DE）；
（2）记面BCV为 ，面DCV为，若∠BED是二面角VC-的平面角，求∠BED．
10. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AB＝BC＝3，BB1＝4，连结B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F．
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（1）求证：A1C⊥平面EBD；
（2）求ED与平面A1B1C所成角的大小； （3）求二面角E-BD-C的大小．
11. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点．
（1）证明：AD⊥D1F； （2）求AE与D1F所成的角； （3）证明：面AED⊥面A1FD1；
（4）设AA1＝2，求三棱锥F-A1ED1的体积VF?A1ED1．
12. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1上一点，平面B1CE⊥平面BCE，AB=BC=1，AA1=2。
（1）求平面B1CE与平面B1BE所成二面角?的大小；（文科只要求求tan?） （2）求点A到平面B1CE的距离。
13. 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底边长为1，高为h(h>3)，点M在侧棱BB1上移
动，到底面ABC的距离为x，且AM与侧面BCC1所成的角为α；
?? （Ⅰ）（本问6分）若α在区间[,]上变化，求x的变化范围；
64? （Ⅱ）（本问6分）若?为,求AM与BC所成的角.
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2009届高考数学难点突破训练――立体几何
