2019-2020年高中数学 1.5 3定积分教案 新人教A版选修2-2
定积分是积分学中的另一个重要概念．我们先从几何学与力学问题出发引进定积分的概念，然后讨论它的性质和计算方法，最后介绍定积分在几何、物理、经济方面的一些应用．
§7.1 定积分的概念
教学目的与要求
1.深刻理解定积分的概念； 2.熟练掌握定积分的性质。 教学重点与难点
定积分的定义与引入背景 一、定积分的实际背景
1、曲边梯形的面积
设是区间上的非负连续函数，由直线，，及曲线所围成的图形（如下左图），称为曲边梯形，曲线称为曲边．现在求其面积．
由于曲边梯形的高在区间上是变动的，无法直接用已有的梯形面积公式去计算．但曲边梯形的高在区间上是连续变化的，当区间很小时，高的变化也很小，近似不变．因此，如果把区间分成许多小区间，在每个小区间上用某一点处的高度近似代替该区间上的小曲边梯形的变高．那么，每个小曲边梯形就可近似看成这样得到的小矩形，从而所有小矩形面积之和就可作为曲边梯形面积的近似值．如果将区间无限细分下去．即让每个小区间的长度都趋于
零，这时所有小矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积．其具体做法如下： （1）首先在区间内插入个分点 a?x0?x1?x2?x3???xn?1?xn?b
把区间分成个小区间 ，各小区间的长度依次记为 ．过各个分点作垂直于轴的直线，将整个曲边梯形分成个小曲边梯形（如上右图），小曲边梯形的面积记为 ．
（2）在每个小区间上任意取一点，作以为高，底边为的小矩形，其面积为，它可作为同
底的小曲边梯形的近似值，即
．
把个小矩形的面积加起来，就得到整个曲边梯形面积的近似值：
A???Ai??f(?i)?xi．
i?1i?1nn（3） 记??max{?x1,?x2,?,?xn}，则当时，每个小区间的长度也趋于零．此时和式的极限便是所求曲边梯形面积的精确值，即
．
二、定积分的概念
我们看到，虽然曲边梯形面积和变速直线运动路程的实际意义不同，但解决问题的方法却完全相同．概括起来就是：分割、近似、求和、取极限．抛开它们各自所代表的实际意义，抓住共同本质与特点加以概括，就可得到下述定积分的定义．
定义 设函数在区间上有界，在上插入若干个分点
a?x0?x1?x2?x3???xn?1?xn?b，
将区间分成个小区间
[x0,x1],[x1,x2],?,[xn?1,xn]，
各小区间的长度依次记为，在每个小区间上任取一点，作乘积的和式
．
记，如果不论对区间怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和式总趋于确定的值，则称在上可积，称此极限值为函数在上的定积分，记作，即
?积分区间．
baf(x)dx?lim?f(?i)?xi．
??0i?1n其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做
关于定积分的定义的说明：
1、定积分表示一个数，它只取决于被积函数及积分区间，与积分变量采用什么字母无关．即
?baf(x)dx??f(t)dt??f(u)du．
aabb2、定义中要求，补充如下规定：
（1）当a>b时，； （2）当a=b时，．
3、函数在上满足什么条件一定可积？
定理（充分条件） 若在区间上连续，则在上可积；若在区间上有界，且仅有有限个第一类间断点，则在上可积．
初等函数在其定义区间内部都是可积的。 三、定积分的几何意义
（1）若在上，则由引入中曲边梯形的面积问题知，定积分等于以为曲边的上的曲边梯形的面积，即
．
（2）若在上，因，从而，．此时的绝对值与由直线，，及曲线 所围成的曲边梯形的面积相等（见下左图），即
．
（3）若在上有正有负，则等于上位于轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积．（如下右图）有
．
四、定积分的性质
性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面．即
（为常数）．
证
?bakf(x)dx?lim?kf(?i)?xi．
??0i?1n性质2 函数的和（差）的定积分等于他们定积分的和（差），即
．
证
?lim?f(?i)?xi?lim?g(?i)?xi
??0i?1nn??0i?1此性质对有限多个函数的代数和也成立．
性质3 对于任意三个数，恒有
．
证 当时，因为函数在上可积，所以无论对怎样划分，和式的极限总是不变的．因此在划分区间时，可以使永远是一个分点，那么上的积分和等于上的积分和加上上的积分和，即
．
令，上式两端取极限得
；
同理，当时
，
所以 ．
其它情形仿此可证．
性质4 如果在上，则．
证 因为，所以，又，所以 ，于是
?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi?0．
??0i?1n 同理可证，如果在上，则．
性质5 如果在上，则． 证 因为在上，则，即 ， 于是 ．
性质6 如果在上，，则．
性质7 设，是函数在区间上的最大值与最小值，则
m(b?a)??baf(x)dx?M(b?a)．
证 因为 ，由性质5，得
，
所以 m(b?a)??baf(x)dx?M(b?a)．
性质8 （积分中值定理）设函数在上连续，则在上至少存在一点使得
．
该公式叫做积分中值公式．
证 因为在上连续，所以在上一定有最小值和最大值，由性质7，
m(b?a)?即 ．
是介于的最小值与最大值之间的一个数，根据闭区间连续函数的介值定理，至少存在一点，使得成立，即 ．
积分中值公式有以下几何解释：在区间 上至少存在一点，使得以区间为底，以曲线 为曲边的曲边梯形面积等于与之同一底边而高为的个矩形的面积（图5—5）．
例 1 利用定义计算定积分． 解 因为被积函数在积分区间上连续，而连续
函一
?baf(x)dx?M(b?a)，
数是可积的，所以定积分与区间的分法及点的取法无关．因此，为了便于计算，不妨把区间分成等份，分点为 ．这样每个小区间的长度 ．取 ，于是得和式
i11???i?xi??()2?3nni?1i?1n2nn?ii?1n2
?1n(n?1)(2n?1)111?(1?)(2?)， 366nnn 当，即时，由定积分的定义即得所要计算的定积分值为 ．
例 2 设在上连续，在内可导，且．证明：在内有一点使． 证 对于，在上利用性质8，至少存在一点使得
f(?)?121?3?123f(x)dx?3?2f(x)dx?f(0)．
31在上利用罗尔定理可得，至少存在一点使．
例 3 估计定积分的值．
解 令 ， 则．在上，，即在上单调增加， 故
1?f(0)?f(x)?f(1)?e?从而
111?4，
?0dx??0f(x)dx??0(e?4)dx，
?即 1? 小结
1.定积分的概念； 2.定积分的性质；
?10(ex?arctanx2)dx?e?2?4．
3.定积分的几何意义。 作业
练习：p1169 习作题 1.2 作业: p188 习题 7: 2，3 预习：第七章§7.2 p170—173
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