2016高中数学人教A版必修四第一章 3弧度制 练习题含答案

2016高中数学人教A版必修四第一章 3弧度制 Word练习题含答案

§3 弧 度 制

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1、问题导航

(1)“1弧度”指的就是“1度的角所对的弧”不？ (2)“2 rad”的角终边在第几象限？

(3)30°的角化为弧度就是多少？120°就是30°的几倍？其弧度数就是多少？ 2、例题导读 P10例1、通过本例学习,学会把角度换算成弧度,并注意,不要用“rad”的中文名称“弧度”作单位写在数据的后面、

试一试:教材P12习题1－3 T1您会不？

P10例2、通过本例学习,学会把弧度换算成度,并注意,“度”的单位“°”不能省略、 试一试:教材P12习题1－3 T2您会不？ 1、度量角的单位制 (1)角度制

1

规定周角的为1度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制、

360

(2)单位圆

半径为1的圆称为单位圆、 (3)弧度制

当半径不同时,同样的圆心角所对的弧长与半径之比就是常数,称这个常数为该角的弧度数、

在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角、它的单位符号就是rad,读作弧度、这种以弧度作单位度量角的单位制,叫作弧度制、

2、弧度数与弧长公式

(1)符号:一般地,任一正角的弧度数都就是一个正数;任一负角的弧度数都就是一个负数;零角的弧度数就是0、

(2)公式:如图所示,l、r、α分别就是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数、

l弧度数公式:|α|＝; r弧长公式:l＝|α|r;

这就就是说,弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积、 3、角度制与弧度制的换算 (1)角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 180π1 rad＝?π?°≈57、30°＝57°??1°＝ rad≈0、017_45 rad 18018′ (2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系 角度0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 数 弧度ππππ5ππ2π3π5π0 12643122346数

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角度180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 数 弧度7π5π4π3π5π7π11ππ 2π 6432346数 4、弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 |n|πr弧长公式 l＝|α|r l＝ 180扇形面积|n|πr2|α|1S＝ S＝r2＝lr 36022公式 r就是扇形的半径,n就是圆心角的角度r就是扇形的半径,α就是圆心角的弧注意事项 数 度数,l就是弧长 显然弧度制下的两个公式在形式上都要简单得多,记忆与应用也就更加方便、 注意:在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性,但如果已知角就是以“度”为单位,则应该先化成弧度后再计算、

1、判断正误、(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)1弧度指的就是1度的角、( ) (2)周角的大小就是2π、( )

(3)弧长为π,半径为2的扇形的圆心角就是直角、( )

解析:(1)错误、1弧度指的就是长度等于半径长的弧所对的圆心角、

2πr

(2)正确、周角的大小就是＝2π、

r

π

(3)正确、若弧长为π,半径为2,则|α|＝,故其圆心角就是直角、

2

答案:(1)× (2)√ (3)√

2、下列转化结果错误的就是( )

π10

A、60°化成弧度就是 B、－π化成度就是－600°

33

7ππ

C、－150°化成弧度就是－ D、化成度就是15°

612

ππ1010

解析:选C、对于A,60°＝60×＝;对于B,－π＝－×180°＝－600°;对于

180333

π5ππ1

C,－150°＝－150×＝－;对于D,＝×180°＝15°、

18061212

3、已知圆的半径为2,则弧长为4的弧所对的圆心角α(0<α<2π)的弧度数为________、

l4

解析:|α|＝＝＝2、

r2

答案:2

4、若扇形的圆心角为60°,半径为1,则扇形的弧长l＝________,面积S＝________、

ππ

解析:因为α＝60°＝,r＝1,所以l＝|α|·r＝,

33ππ11

S＝r·l＝×1×＝、 2236ππ答案:

361、对弧度制概念的三点说明

(1)“1 rad”就是指:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小,不就是弧长,这个角就是固定的,与圆的半径的长度无关、

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(2)引入弧度制后,角的集合与实数建立一一对应关系,我们今后表示角时,多用弧度制表示、

(3)表示角时π就就是无理数,它表示一个实数,同1 rad角的大小一样,π rad的角表示:长度等于半径的π倍的圆弧所对的圆心角,在判断有理数表示角的象限,与π比较大小时,有时需要把π化为小数、

2、对弧度数计算公式的说明

l

我们常用α＝来求解圆中圆心角所对弧度数,一般来说,在圆中弧长就是个正数,故得出

r

的圆心角也为正数、但在平面直角坐标系中,所求的角不一定为正角,所以常常根据需要在角

l

α上添加正负号,故这个求弧度数的公式常常记为|α|＝、

r

3、角度与弧度的区别与联系 (1)定义不同,大小不同 区别 (2)单位不同 (3)弧度制就是十进制,而角度制就是六十进制 (1)不管以“弧度”还就是以“度”为单位的角的大小都就是一个与圆的半径大小无关的值,仅与半径与所含的弧这两者的比值有关 联系 (2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化 (3)表示角时,弧度制与角度制不能混用 4、角度制与弧度制换算时应注意的四个问题 (1)用弧度为单位表示角的大小时,“弧度(rad)”可以省略不写,如果以度(°)为单位表示角的大小时,度(°)不能省略不写、

(2)度化为弧度时,应先将分、秒化为度,再化为弧度、

(3)有些角的弧度数就是π的整数倍时,如无特别要求,不必把π化成小数、

(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时,除了零角以外,所得的结果都就是不同的,二者要注意不能混淆、

5、角度制与弧度制换算的要点

角度与弧度的互化

(1)把112°30′化为弧度; 5

(2)将－π rad化为度、

12

(链接教材P10例1、例2)

π

[解] (1)因为1°＝ rad,

180

π5

所以112°30′＝112、5°＝112、5×＝π、

1808

180

(2)因为1 rad＝?π?°,

??

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18055

所以－π＝－π×?π?°＝－75°、

1212??方法归纳

(1)在进行角度制与弧度制的换算时,抓住关系式π rad＝180°就是关键、由它可以得到:

180?π?度数×＝弧度数,弧度数×π°＝度数、

180??

(2)特殊角的弧度数与角度数对应值今后常用,应熟记、 (3)在同一个角的表达式中,角度与弧度不能混合使用、

1、(1)－690°化为弧度就是( )

5π7πA、－ B、－

3323π13πC、－ D、－

66

(2)①18°＝________ rad; ②67°30′＝________ rad; 3

③π rad＝________度; 10

④2 rad≈________度、(保留一位小数)

ππ23

解析:(1)因为1°＝ rad,所以－690°＝－690×＝－π、

1801806ππ

(2)①18°＝×18 rad＝ rad;

18010

π3

②67°30′＝67、5°＝67、5× rad＝π rad;

1808

18033

③π rad＝π×?π?°＝54°; 1010??

④2 rad≈57、3°×2＝114、6°、

π3

答案:(1)C (2)① ②π ③54 ④114、6

108

用弧度表示终边相同的角

(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式,其中0≤α<2π,并判断它就是第几象限

角？

(2)若β∈[－4π,0],且β与(1)中α的终边相同,求β、 (链接教材P12习题1－3T7)

742

[解] (1)－1 480°＝－π＝－8π－π

99

1616

＝－10π＋π＝2×(－5)π＋π,

991616

其中0≤π<2π,因为π就是第四象限角,

99

所以－1 480°就是第四象限角、 (2)由题意知:

16

β＝α＋2kπ＝2kπ＋9π(k∈Z),

又因为β∈[－4π,0],所以令k＝－1,－2得,

220

β1＝－9π,β2＝－9π、

本例(1)中的条件“－1 480°”若换为“－855°”,其她条件不变,其结

论又如何呢？

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π19π5π

解:因为－855°＝－855× rad＝－＝－6π＋,

18044

5π5π

所以－855°与的终边相同、又因为就是第三象限角,

44

所以－855°就是第三象限角、 方法归纳

(1)无论用角度制还就是用弧度制来度量角,都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与它对应、

(2)用弧度制表示终边相同角α＋2kπ(k∈Z)时,注意2kπ就是π的偶数倍,而不就是π的奇数倍、

2、(1)与－660°角终边相同的最小正角就是________、(用弧度制表示)

(2)将下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出它们就是第几象限角、 ①－1 725°;②870°、

解:(1)因为与角α终边相同的角为α＋k·360°(k∈Z),所以与－660°角终边相同的角就

ππ

是－660°＋k·360°(k∈Z),其中最小正角就是60°,化为弧度为、故填、

33

(2)①因为－1 725°＝－5×360°＋75°,

5π

所以－1 725°＝－10π＋、

12

5π

所以－1 725°与的终边相同,就是第一象限的角、

125π29

②870°＝π＝＋4π,

66

5π

所以－870°与终边相同,就是第二象限角、

6

扇形的弧长与面积公式的应用

一条弦的长度等于半径r,求: (1)这条弦所对的劣弧长;

(2)这条弦与劣弧所组成的弓形的面积、

π

[解] (1)如图,半径为r的⊙O中弦AB＝r,则△OAB为等边三角形,所以∠AOB＝,则

3

π

弦AB所对的劣弧长为r、

3

(2)因为△AOB就是边长为r的正三角形,所以S△AOB＝

32r, 4

π11π

S扇形OAB＝|α|r2＝××r2＝r2,

2236

π3

所以S弓形＝S扇形OAB－S△AOB＝r2－r2

64

π3

＝?－?r2、 ?64?方法归纳

图形的分解与组合就是解决数学问题的基本方法之一、本例中,把弓形面积瞧成扇形面