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考研数学大纲详解参考教材分析

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考研数学大纲详解参考

教材分析

文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

高 等 数 学

考研指定教材:同济大学数学系主编《高等数学》(上下册)(第六版) 内容来自互联网,仅供参考。 第一章 函数与极限 (7天)(考小题)

学习内容

复习知识点与对应习题

大纲要求

第一节:映函数的概念,常见的函数(有界函数、奇函数射与函数 与偶函数、单调函数、周期函数)、复合函(一般章节) 数、反函数、初等函数具体概念和形式.(集

合、映射不用看;双曲正弦,双曲余弦,双曲正切不用看)

习题1-1:4,5,6,7,8,9,13, 15,16(重点) 第二节: 数列的极限 (一般章节)

第三节: 函数的极限 (一般章节)

第四节: 无穷大与无穷小(重要) 第五节: 极限的运算法则(掌握) 第六节: 极限存在准则(理解)

1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立应用问题中的函数关系.

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶

数列定义,数列极限的性质(唯一性、有界性、

性.

保号性 )(本节用极限定义证明极限的题目考

3.理解复合函数

纲不作要求,可不看,如P26例1,例2,例

及分段函数的概

3,定理1,2,3的证明都不作要求,但要理解;

念,了解反函数

定理4不用看)

及隐函数的概

习题1-2:1

念.

函数极限的基本性质(不等式性质、极限的保4.掌握基本初等号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有函数的性质及其界性,函数极限与数列极限的关系等) P33(例图形,了解初等4,例5)(例7不用做,定理2,3的证明不用函数的概念. 看,定理4不用看) 5.理解极限的概习题1-3:1,2,3,4 念,理解函数左

极限与右极限的

无穷小与无穷大的定义,它们之间的关系,以

概念,以及函数

及与极限的关系(无穷小重要,无穷大了解)

极限存在与左、

(例2不用看,定理2不用证明)

右极限之间的关

习题1-4:1,6

系.

极限的运算法则(6个定理以及一些推论) 6.掌握极限的性(注意运算法则的前提条件是否各自极限存质及四则运算法在)(定理1,2的证明理解,推论1,2,3,定理则. 6的证明不用看)P46(例3,例4),P47(例6) 7.掌握极限存在习题1-5:1,2,3,4,5(重点) 的两个准则,并

会利用它们求极两个重要极限(要牢记在心,要注意极限成立

限,掌握利用两的条件,不要混淆,应熟悉等价表达式,要会

证明两个重要极限),函数极限的存在问题(夹个重要极限求极

两个重要极逼定理、单调有界数列必有极限),利用函数限(重要) 极限求数列极限,利用夹逼法则求极限,求递

归数列的极限(准则1的证明理解,第一个重要极限的证明一定要会,另一个重要极限的证明不用看,柯西存在准则不用看) P51(例1)习题1-6:1,2,4

限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.

第七节: 无穷小阶的概念(同阶无穷小、等价无穷小、

9.理解函数连续

无穷小的比高阶无穷小、k阶无穷小),重要的等价无穷小

性的概念(含左

较(重要) (尤其重要,一定要烂熟于心)以及它们的重

连续与右连

要性质和确定方法(定理1,2的证明理解)

续),会判别函

P57(例1)P58(例5)习题1-7:全做

数间断点的类

第八节: 函数的连续性,间断点的定义与分类(第一类型. 函数的连续间断点与第二类间断点),判断函数的连续性10.了解连续函性与间断点(连续性的四则运算法则,复合函数的连续数的性质和初等(重要,基性,反函数的连续性)和间断点的类型。 函数的连续性,本必考小例1-例5习题1-8:1,2,3,4,5(重点) 理解闭区间上连题) 续函数的性质第九节: 连续函数的运算与初等函数的连续性(包括和,(有界性、最大

值和最小值定

连续函数的差,积,商的连续性,反函数与复合函数的连续

运算与初等性,初等函数的连续性) (定理3,4的证明不用理、介值定

理),并会应用

函数的连续看)

这些性质.

性(了解) 例4-例8 习题1-9:1,2,3,4,5,6(重

点) 第十节: 闭区间上连续函数的性质(重要,不单独考大题,但考大题特别是证明题会用到)

理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法).(一致连续性不用看)例1-例2

习题1-10:1,2,3,5(要会用5题的结论)

总复习题一:除了7,8,9以外均做, 3,5,11,14(重点)

自我小结

本章测试题- 检验自己是否对本章的复习合格(合格成绩为80分以上),如果合格继续向前复习,如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。

第二章 导数与微分(6天)(小题的必考章节)

学习内容

复习知识点与对应习题 大纲要求

第一节: 导数的定义、几何意义、物理意义(数三不导数的概念作要求,可不看,数三要知道导数的经济意(重要) 义:边际与弹性),单侧与双侧可导的关

系,可导与连续之间的关系(非常重要,经常会出现在选择题中),函数的可导性,导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质,按照定义求导及其适用的情形,利用导数定义求极限. 会求平面曲线的切线方程和法线方程.(导数定义年年必考)例1-例6 习题2-1:3,4,5,6,7,8,11,15,16,17,18,19,(重点)20 第二节: 函数的求导法则

(考小题)

1. 理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.

第三节: 高阶导数 (重要,考的可能性很大) 第四节: 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数(考小题) 第五节: 函数的微分 (考小题) 复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数,由复合函数求导法则导出的微分法则,(幂、指数函数求导法,反函数求导法),分段函数求导法(基本求导法则与求导公式要非常熟)(定理1,3的证明不用看,例1,17不用做,定理2的证明理解,例6,7,8重点做)

习题2-2:除2,3,4,12不用做,其余全 2.掌握导数的四做,13,14重点做 则运算法则和复合函高阶导数和N阶导数的求法(归纳法,分解数的求导法则,掌握法,用莱布尼兹法则)(用泰勒展开式求高基本初等函数的导数

公式.了解微分的四阶导)

例1-例7 习题2-3:5,6,7,11不用做,则运算法则和一阶微

分形式的不变性,会其余全做,4,12重点做

求函数的微分.

由参数方程确定的函数的求导法(数三不用

3.了解高阶导数的

看),变限积分的求导法,隐函数的求导法概念,会求简单函数(相关变化率不用看)例1-例10

的高阶导数.

习题2-4:9,10,11,12均不用做,数三4.会求分段函数的5,6,7,8也可以不做,其余全做,4重点做

导数,会求隐函数和由参数方程所确定的

函数微分的定义,微分运算法则,微分几何函数以及反函数的导意义(微分在近似计算中的应用不用看,考数. 纲不作要求)

例1-例6 习题2-5:5,6,7,8,9,10,11,12均不用做,其余全做

总复习题二:4,10,15,16,17,18均不用做,其余全做,2,3,6,7,14重点做,数三不用做12,13

第二章测试题

自我小结

第三章 微分中值定理与导数的应用(8天)考大题难题经典章节

学习内容 第一节: 微分中值定理(最重要,与中值定理应用有关的证明题)

复习知识点与对应习题

微分中值定理及其应用(费马定理及其几何意义,罗尔定理及其几何意义,拉格朗日定理及其几何意义、柯西定理及其几何意义)(四个定理要会证明,及其重要)

例1,习题3-1:除了13,15不用做,其余全部重点做

大纲要求

1.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日

(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.

第二节:洛洛比达法则及其应用(洛比达法则要会证

2.掌握用洛必达

必达法则明,重要)

法则求未定式极限

(重要,基例1-例10,习题3-2:全做,1,3,4重点

的方法.

本必考) 做

3.理解函数的极

第三节: 泰勒中值定理,麦克劳林展开式 值概念,掌握用导泰勒公式(可不看公式的证明) 数判断函数的单调(掌握其应例1-例3 习题3-3:8,9不用做,其余全性和求函数极值的用) 做 方法,掌握函数最

10(1)(2)(3)重点做 大值和最小值的求

法及其简单应用.

第四节: 求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐

4.会用导数判断

函数的单调点、渐近线(选择题及大题会用到)例1-例

函数图形的凹凸

性与曲线的12

性,会求函数图形

凹凸区间习题3-4:3(1)(2)(5),5(1)

的拐点以及水平、

(考小题) (2),8(1)(2),9(1)(3)(5),

铅直和斜渐近线,

10(2)不用做,其余全做,3,4,5,6,13,15

会描绘函数的图

重点做

形.

第五节: 函数的极值(一个必要条件,两个充分条件),5.了解曲率和曲函数极值与最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最率半径的概念,会最大值最小值问题,与最值问题有关的综合题 计算曲率和曲率半值(考小题例5,6,7不用看 习题3-5:1(2)(3)径. 为主) (6)(9)8,9,10,11,12,13,14,15,16均不

用做,其余全做 第六节: 函数图形的描绘(重要) 第七节: 曲率(数三不作要求,仅数一、数二要求) 第八节:方

简单了解利用导数作函数图形(一般出选择题及判断图形题),对其中的渐进线和间断点要熟练掌握,一元函数的最值问题(三种情形)。

例1-例3 习题3-6:2-5

曲率、曲率的计算公式,与曲率相关的问题 (弧微分、曲率中心计算公式、渐屈线、渐伸线不用看)

例1-例3,习题3-7:1-6

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