第八章 多元函数微分法及其应用
一、多元函数的基本概念
1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念
2、多元函数的极限
?
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A（或limf(x,y)?A）的???定义
P?P0? 掌握判定多元函数极限不存在的方法：
（1）令P(x,y)沿y?kx趋向P(x0,y0)，若极限值与k有关，则可断言
函数极限不存在；
（2）找两种不同趋近方式，若
此时也可断言极限不存在。
? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，
等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：
例1．用???定义证明
(x,y)?(0,0)(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)存在，但两者不相等，
lim(x2?y2)sin1?0
x2?y2x2?y2例2（03年期末考试 三、1，5分）当x?0,y?0时，函数2x?y2?(x2?y)2的极限是否存在？证明你的结论。
?xy22?x2?y2,x?y?0例3 设f(x,y)??，讨论limf(x,y)是否存在？
(x,y)?(0,0)22?0, x?y?0??xy222,x?y?0?24例4（07年期末考试 一、2，3分）设f(x,y)??x?y，讨论
?0, x2?y2?0?limf(x,y)是否存在？
(x,y)?(0,0) 1
sin(x2y)例5．求lim
(x,y)?(0,0)x2?y2
3、多元函数的连续性?(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)
? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含
在定义域内的区域或闭区域。
? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”
?x3?y322,x?y?0?22例1． 讨论函数f(x,y)??x?y在（0，0）处的连续性。
?0, x2?y2?0??xy222,x?y?0?24例2． （06年期末考试 十一，4分）试证f(x,y)??x?y在
?0, x2?y2?0?点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求
xy?1?1x?y 例4．lim
(x,y)?(0,0)(x,y)?(1,2)xyxylim4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理
二、多元函数的偏导数
1、 二元函数z?f(x,y)关于x,y的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）
如果极限lim?z?x?x?x0y?y0?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)存在，则有
?x?zxx?x0y?y0?f?xx?x0y?y0?fx(x0,y0)?lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)
?x（相当于把y看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
2
如果极限lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)存在，则有
?y?z?y?x?x0y?y0?f?yx?x0y?y0?zyx?x0y?y0?fy(x0,y0)?lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)
?y对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。
?(x2?y2)xy2,x?y2?0?22例1（08年期末考试 一、3，4分）已知f(x,y)??x?y，
?0, x2?y2?0?则fx(0,y)? ?xy222,x?y?0?24例2 （06年期末考试 十一，4分）试证f(x,y)??x?y在点(0,0)
?0, x2?y2?0?不连续，但存在一阶偏导数。
1?22(x?y)sin,x2?y2?0?22x?y例3 设f(x,y)??，求fx(x,y),fy(x,y)。
?0, x2?y2?0?例4 设z?xy，求zx,zy。
例5（03年期末考试，一、2，3分） 设u?x?(y?1)arcsin的值为（ ）。
2、 二元函数z?f(x,y)关于x,y的高阶偏导数（二元以上类似定义）
???z??2z???z??2z?fxx(x,y ) ?fxy(x,y), ???????x??x??x2?y??x??x?y???z??2z???z??2z?fyx(x,y ) ???2?fyy(x,y)????y??y??y?x??y??y?x
3
x?u，则在(1,2)y?x?2z?2z?2z?2z定理：若两个混合二阶偏导数在区域D内连续，则有。 ,??x?y?y?x?x?y?y?x例1．设u?1,r?(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2，其中a,b,c为常数，求：r?2u?2u?2u＋?。 ?x2?y2?z2例2．设z?(x?y)e
22?arctgyx?2z，求。
?x?y3、z?f(x,y)在点P(x,y)偏导数存在?z?f(x,y)在点P(x,y)连续（07年，04年，02年等）
?z?f(x,y)4、偏导数的几何意义：fx(x0,y0)表示曲线?在点P(x0,y0,z0)处的
y?y0?切线与x轴正向的夹角。
三、全微分
1、z?f(x,y)在点P(x0,y0)可微分的判定方法 若
lim?z?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?x??y22(?x,?y)?(0,0)?0，则可判定z?f(x,y)在点
P(x0,y0)可微分。其中?z?f(x0??x,y0??y)?f(x,y)
例1．（08年期末考试 十二、6分）证明函数
1?2222(x?y)sin,x?y?0?22x?y在（0，0）处可微，但偏导数fx(x,y)f(x,y)???22?0, x?y?0在（0，0）处不连续。
4
?xy22,x?y?0?22例2 （07年期末考试 七、6分）f(x,y)??x?y，证明：（1）
?22?0, x?y?0函数在（0，0）处偏导数存在；（2）函数在（0，0）处不可微。
2、全微分的计算方法
若z?f(x,y)在P(x0,y0)可微，则有dz?fx(x0,y0)dx?fy(x0,y0)dy 其中fx(x0,y0),fy(x0,y0)的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。 例1（08年期末考试，一，1，4分） 设z?x4y3?2x，则dz(1,2)? 例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设z?arctan2y(x?0),求dz。 x例3 （06年期末考试，二、2，3分）设u?xy，则du?
例4 （03年期末考试，二、2，3分）函数u?ln(x?y2?z2)在点(1,0,1)处的全微分为
例5．设z?uy?arcsinw，u?ex，w?微分dz。
3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等） ? 一阶偏导数fx,fy在P(x0,y0)连续?z?f(x,y)在P(x0,y0)可微?
z?f(x,y)在P(x0,y0)连续?z?f(x,y)在P(x0,y0)有极限
xx?y22，求函数：对变量x,y的全
? z?f(x,y)在P(x0,y0)可微?在P(x0,y0)的一阶偏导数fx,fy存在 ? z?f(x,y)在P(x0,y0)可微?在P(x0,y0)的方向导数fx,fy存在
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多元函数微分学及其应用归纳总结
