全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析
?1??2/3A??1/2??1/2??1/33??1223?1/2112? ?1/2113/2??1/21/22/31?3/222求其最大特征值及其对应的特征向量，并归一化可得这五个因素的权重向量为：
Tw?（0.3244,0.2755,0.1578,0.1485,0.0938）
由此可得各方案的吸引力指标值的计算公式为：
qj??w??ll?15jl(j?1,2,?,29)
通过计算，得到各方案吸引力指标值并按从大到小的顺序排列（见表4-4）。
方案序号 吸引力指标值 方案序号 吸引力指标值 方案序号 吸引力指标值 23 0.528 3 0.3256 12 0.232 27 0.5121 20 0.3087 14 0.2303 表4-4 各方案吸引力指标值排序表 26 1 19 22 0.4430.4410.4350.395 4 3 4 18 24 28 21 0.3050.2960.2960.2889 9 2 6 5 13 9 11 0.2280.2190.2170.2024 3 3 2 2 0.3621 29 0.2598 8 0.1944 25 0.3554 6 0.2529 7 0.1869 4 0.3388 15 0.25 10 0.1542 17 0.3312 16 0.2401 其中吸引力指标值最大的是第23号方案，这主要是由于23号方案只设立了一个高项奖，奖额巨大，十分诱人；抽奖方式没有特别号，导致中奖面大大提高，这与我们的考核因素十分吻合，因而排在吸引力指标值的首位。但该方案的奖项高项奖金额与低项奖金额的分配很不合理，其高项奖奖金总额是低项奖奖金总额的190多倍。于是我们考虑对29个方案的高项奖金额与低项奖金额的比值进行计算，按从大到小的顺序排列如表4-5，并作散点图，见图4-1。
序号 比值 序号 比值 序号 比值 表4-5 29个方案的高项奖金额与低项奖金额的比值排序表 23 1 28 19 17 29 12 13 14 26 191.3077 81.6446 19.3252 10.2108 8.8522 8.2336 7.1766 7.1766 7.1766 4.9773 18 11 15 22 5 9 27 16 20 25 4.9102 4.6625 4.6497 4.4259 4.1787 3.5977 3.1563 2.9370 2.5373 2.5149 2 3 4 6 24 8 21 7 10 2.3875 2.3875 2.3875 2.3784 2.0460 1.9709 1.7670 1.3552 1.0165 250200150100500010203040图4-1 散点图 从图4-1可以看出,其中23号方案、1号方案、28号方案的比值为散点图中的奇异点，取值较大，不合理，将这3种方案剔除。然后再对其余26种方案按吸引力指标进行重新排序，按从大到小的顺序列表，见表4-6。
从表4-6可以看出吸引力指标值排在前几位的方案序号依次为：27、22、19、26、2、25、4、3、
38
第四篇 彩票方案的合理性分析
17，因此这几种方案较为合理。“传统型10选6+1”的方案都比较合理，这也验证了传统型投注法是很受彩民欢迎的（安徽体彩10选6+1玩法的销量最高）。
方案 q值 方案 q值 方案 q值 27 0.5953 24 0.3585 16 0.2584 22 0.528 18 0.3384 13 0.2519 表4-6 26种方案吸引力指标大到小排序表 19 26 2 25 4 0.4925 0.4861 0.4403 0.4175 0.3968 20 21 12 6 15 0.3376 0.3141 0.2743 0.2712 0.2701 9 29 11 8 7 0.2254 0.2229 0.2125 0.2008 0.196 3 0.3837 5 0.2655 10 0.1648 17 0.3757 14 0.263 4.5.2 方案的设计
由对各种方案的合理性评价结果可以选出在满足高项奖总值与低等奖总值比值合理的前提下，按对于彩民的吸引力大小选出（相同的玩法中取其中一种最好的）七种较好的方案，排序依次为第27种、第26种、第19种、第2种、第22种、第17种、第25种，吸引力最好的方案为第27种方案。通过对第27种方案进行分析，可以看出：此方案三种最高奖项的设置比例较为合理；此方案奖项等级设置较为合理；中奖面也比较适中。故分别改进吸引力较好的另外六种方案试图寻找一种更好方案，方法如下：将其他六种方案高奖项中一、二、三等奖奖金比例均设置为0.70:0.15:0.15,（取第27种方案中一、二、三等奖奖金比例），再将其他六种方案奖项等级统一设置为六种奖项，低等奖项的单项奖额不变，见表4-7。
表4-7 七种方案六种奖项奖金分配 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 方案序号 奖金比例 奖金比例 奖金比例 奖金 奖金 奖金 2 0.7 0.15 0.15 300 20 5 17 0.7 0.15 0.15 500 30 6 19 0.7 0.15 0.15 300 50 5 22 0.7 0.15 0.15 200 50 20 25 0.7 0.15 0.15 500 100 10 26 0.7 0.15 0.15 500 50 10 27 0.7 0.15 0.15 1500 100 50 仍然按一等奖奖金、二等奖奖金、一等奖中奖概率、二等奖中奖概率和奖金覆盖面五个指标和4.5.1中确定的权重系数，排出这7种方案吸引力大小的顺序，结果见表4-8。
表4-8 7种方案吸引力大小的排序表 27 方案 （26） （22） （19） （17） （2） q 0.6608 0.5999 0.5959 0.5452 0.4520 0.4388 注：带括号“（#）”表示由原第“#”种方案新改进的方案。 （25） 0.4225 初步认为7种方案中吸引力指标值最大的方案（26）为更好的一种方案。在此基础上我们通过对高项奖比例进行模拟优化此方案。模拟方法为：不断调整一、二、三等奖在高项奖的比例，确定出不同的方案，分别代替原29个方案中的第26号方案，用4.5.1的方法算出此方案对彩民吸引力的数值。不同方案及所得的吸引力数值如表4-9。
表4-9 不同方案及所得的吸引力数值表 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 吸引力 方案 奖金比例 奖金比例 奖金比例 奖金 奖金 奖金 指标值 1 0.7 0.15 0.15 500 50 10 0.5978 2 0.68 0.16 0.16 500 50 10 0.6090 3 0.66 0.17 0.17 500 50 10 0.6064 4 0.64 0.18 0.18 500 50 10 0.5952 5 0.62 0.19 0.19 500 50 10 0.5840 以一等奖比例为横坐标，以吸引力数值为纵坐标作折线图如图4-2。
39
全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析
可见在36选7的玩法中方案2的高项奖比例设置更能吸引彩民。故认为此方案为更好的方案。为此，我们对彩票管理部门提出如下建议。
彩票管理部门对彩票的发行一定要慎重，且要加强管理，可从以下方面来考虑：
⑴要增强对彩民的吸引力。在考虑方案的合理性时，主要还是要考虑彩票对彩民的吸引力，因为政府发行彩票，主要还是要彩民来购买，彩票的销售量越大，募集的资金越多。而根据调查，彩民在购买时，主要考虑以下几个指标：一等奖金额、二等奖金额、一等奖概率、二等奖概率、中奖面等，所以政府在推行一种方案时，便要综合这些要素进行考虑，使其吸引力达到最大。同时，政府在原来方案的基础上推行新方案，可以在固定某一或某些指标的前提下，要尽力突出另一个或另一些指标，从而使其吸引力更大，方案更合理。
0.6150.610.6050.60.5950.590.5850.580.5750.570.620.640.660.680.7 图4-2 一等奖比例——吸引力系数折线图
⑵对彩票要加强管理，更要进行科学的管理，对奖项方案的设置更要科学，要兼顾中奖率与中奖额、高项奖奖金与低项奖奖金。
⑶彩票方案的设置要结合经济发展水平和消费水平。安徽省目前还推出其他玩法, 如5/15,得一等奖的概率较大，但奖金太小，往往只有几千元钱，有些彩民感到不过瘾，因此目前又推出了5/21玩法，虽然得一等奖的概率有所降低,但奖金有所提高，人们风趣地称这种玩法为“万元户生产线”。 4.5.3 给彩民的建议
发行彩票,是我国政府在市场经济的条件下，为筹集社会资金,发展福利事业和体育事业而采取的一项重要举措，吸引了社会各界人士的积极参与，取得了显著的社会和经济效益。主要表现在促进消费、拉动经济增长、支持公益事业等各个方面。
彩民在购买彩票时，根据自己的爱好以及经验，一般会考虑其中奖面、一等奖金额、二等奖金额、中一等奖概率以及中二等奖概率等，且彩民考虑的因素和侧重点会因个人偏好不同而购买不同类型的彩票。但购买彩票却不能看作一种发财的手段，有些彩民常常以为购买彩票有某种规律可循，往往陷入误区。
误区之一：中奖号码有规律可循。
某些彩民错误地认为选号有技巧，参照历史资料可以预测本期中奖号码。但根据概率原理，中奖号码的产生是随机的，一个精心设计的号码同计算机随机产生的号码中奖率完全相同,且中奖号码之间是完全独立的，每次开出的中奖号码变化莫测,根本无规律可寻,用历史数据预测是没有任何意
77义的。如上所举“乐透型”的“36选6+1”，其共有C36=8347680种，而一等奖中奖号码仅有C7=177/C36?1/8347680。 个。任何一种投注中一等奖的概率只有C7误区之二：购买彩票是一种投资。
某些彩民认为购买彩票是一种投资，要有耐心，必须持之以恒。但实际上，这种想法是非常不理性的。以“乐透型”的“36选6+1”为例，其中奖面仅为1%左右，中一等奖的概率仅是1.19794?10-7。
40
第四篇 彩票方案的合理性分析
若投资十万元，每张彩票以2元计算，其中一等奖的概率仅为0.006。从理性投资者的角度，以十万元去赢得如此小的中一等奖机会，实在是得不偿失。且各奖项的期望收益=投资注数?单项奖金?各单项奖概率，若一等奖奖金以其封顶金额500万元近似计算，则投资十万元其一等奖的期望收益约为5000000?50000?1.19794?10?7?29948元。在期望收益率为0.5时，平均来说期望收入为5万元，由此可以看出，彩民并没有因为大量购买彩票、持之以恒而致富，反而从平均意义上讲只能返回其购买彩票金额的一半。
综上所述，彩票发行的目的是为社会公众事业募集资金，是政府一种进行资金的再分配手段，彩民可以从购买彩票中享受一定乐趣，而不应以“暴富”为目的影响日常生活。所以，彩民不应相信媒体和报刊错误诱导试图寻找某种规律，拒绝充斥唯心色彩的博彩书籍、信息资料，更不要相信拆字、算命、占卜之类的迷信活动，为保证我国彩票事业的健康发展和顺利进行。
4.6 模型的评价
4.6.1 优点
1．模型从概率的意义上精确的计算了各种类型的彩票的中奖概率，方法较客观、准确，并且计算出在概率意义上各高项奖的单注金额。
2．首先考虑各方案高等奖总额和低等奖总额的比值是否合理，然后综合考虑一等奖金额、二等奖金额、一等奖中奖概率、二等奖中奖概率、中奖面五个指标对彩民的吸引，方法是科学的，评价是客观的，不会出现某种偏激的情况。 4.6.2 缺点
1．该模型没有对各种方案大奖奖池的积累和一等奖500万元封顶以及60万元保底的问题作过详细的讨论。
2．该模型没有考虑除一等奖金额、二等奖金额、一等奖概率、二等奖概率、中奖面之外的因素，难免会对模型带来一定的影响。
参考文献
[1]刘春林,施建军. 论彩票的误区[J]，消费经济，2000年第5期：62-63. [2]李相春,吴柏鸿. 解读彩票[M]，北京：中华工商联合出版社，2000.7.
论文特色 ◆标题定位：“彩票方案的合理性分析”涉及问题及研究方法，定位准确、恰当。
◆方法鉴赏：将概率计算、模糊数学方法和层次分析法等方法对各种方案进行分析显示建模技巧。分析透彻，大量地使用概率的计算，并分类进行模糊综合评价。
◆写作评析：摘要涉及问题、方法、模型、结果、特色，比较全面，只是太简短。关键词兼顾彩票、两类玩法、模糊优化法、层次分析法、概率等，全面到位。问题的重述将原始杂乱无章的问题梳理分成彩票及其玩法、玩法简介、具体问题三个方面，条理清晰，让人一目了然，同时也有利于把握问题的本质。问题的分析也是模型的准备，以计算各种方案中各奖项的中奖概率与各奖项的单注奖额等为基础，分析各种方案的合理性的定量参考。基本假设涉及定量和对计算的简化处理，
41
全国大学生数学建模竞赛优秀论文评析
合理、恰当。以结果为依据，分别对管理部门和彩民做出了科学、中肯、有理有据的建议。
◆其它解读：对模型的优缺点一分为二，分别给出了恰当的评价。
不足之处
建模方法相对单一，缺少具体建模思路流程及算法流程图，没有做出误差分析及灵敏度分析，没有对模型做出横向或纵向的推广，也没有对模型做出进一步分析和讨论。整篇论文有些单薄。
42
(完整word版)数学建模-2002年的彩票中的数学问题
