中华资源库 www.ziyuanku.com 2015届高三年级第二次四校联考 数学（理）试题
2014.12
命题：康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中
【满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知集合M???1,0,1?，N?xx?2a,a?M，则集合M A.?0?
B. ?0,?2?
??N?
C. ??2,0,2? D. ?0,2?
2. 复数z为纯虚数，若(3?i)?z?a?i (i为虚数单位)，则实数a的值为 A．?
13
x2a2y2b2B．3 C．?3 D．
1 33. 设双曲线??1(a?0,b?0)的渐近线方程为y??3x，则该双曲线的离心率为 3开始 输入x x>1? 否 否 x<1? 是 y=2x-3 y=1 y=x 3223 B．2 C． D．2 234. 如图所示的程序框图，若输入的x值为0，则输出的y值为
A．
3 A．
2B．0 C．1
3 D．或0 2是 5. 已知条件p：|x?1|?2，条件q：x?a，且p是q的充分 不必要条件，则a的取值范围是 A. a?1
C．a??1
B．a?1 D．a??3
?2x?y?0?6. 已知实数x,y满足?x?y?1?0，则z?2x?y的最大值为 ?x?y?1?0? A．-2
B．-1 C．0 D．4
输出y 结束 （第4题图）
7. 设数列{an}的前n项和为Sn，若a1?1,an?1?3Sn(n?N?)，则S6?
11D．?(45?1)
338. 在三棱锥S?ABC中，AB?BC?2， SA?SC?AC?2 ,二面角S?AC?B的
3 余弦值是 ，则 三棱锥S?ABC外接球的表面积是
3 A．4 B．4 C．?(46?1)
45 中华资源库 www.ziyuanku.com A.
3? B. 2? C. 26? D. 6?
2 1 9. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A．10?5 B. 10?C. 6?22?6 D. 6?22
2 侧视图 2?6 正视图
10. 设A,B为抛物线y?2px(p?0)上不同的两点，O为坐标原点,且OA?OB,则?OAB面积的最小
值为
A．p B．2p C．4p D．6p
11. 在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)?lnx(x?1)的图象上的动点，该图像 点的横坐标为t，则t的最大值是
22222
俯视图
（第9题图）
在点P处的切线l交x轴于点M.过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中
31e1C． D．1 e??
22e44ex?0?|lgx|212.已知函数f(x)??，则方程f(2x?x)?a(a?0)的根的个数不可能为 2x?0?1?x A．
1 2e B．
A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题(4×5=20分, 把答案填在答题纸的相应位置上)
13. 已知a?1，b?6，a?(b?a)?2，则向量a与b的夹角是___________. 14. 若函数f(x)?sin(?x??)(??0且?????2?)在区间?，??上是单调减函数，且函数2?63?值从1减小到-1，则f()?___________.
?415. 抛物线y?4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，若A(?1，0)，则 值为___________. 16. 已知数列an?n2sin2PFPA的最小
n?，则a1?a2?a3?????a100?___________. 2三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)
在?ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S．已知2S?(a?b)?c （1）求sinC; （2）若a?b?10，求S的最大值. 18．（本小题满分12分）
22 中华资源库 www.ziyuanku.com 如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC,?ABC?900,AD?AB?1BC,E是底边2BC上的一点，且EC?3BE. 现将?CDE沿DE折起到?C1DE的位置，得到如图2所
示的四棱锥C1?ABED,且C1A?AB. （1）求证：C1A?平面ABED;
（2）若M是棱C1E的中点，求直线BM与平面C1DE所成角的正弦值.
C1
D A M
A
D
B E 图1
C
B 图2
E
19．（本小题满分12分）
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a6?S6??3;正项数列{bn}满足：
22bn?1?bn?1bn?2bn?0，b2?b4?20.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn?an,求数列{cn}的前n项和Tn. bn20．（本小题满分12分）
x2y2 在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别为椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦
ab点,B为短轴的一个端点，E是椭圆C上的一点，满足OE?OF1?长为2(2?1).
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M是线段OF2上的一点，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点，若?MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线l距离的取值范围. 21. ( 本小题满分12分)
设函数f(x)?ae(x?1)（其中e?2.718 28．．．），g(x)?x?bx?2，已知它们在
x22OB，且?EF1F2的周2x?0处有相同的切线.
(1) 求函数f(x),g(x)的解析式；
中华资源库 www.ziyuanku.com (2) 求函数f(x)在?t,t?1?(t??3)上的最小值；
(3) 若对?x??2，kf(x)?g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，CF是?ABC边AB上的高，FP?BC,FQ?AC. （1）证明：A、B、P、Q四点共圆； （2）若CQ=4，AQ=1，PF=45，求CB的长. 323．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是??4cos?．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是?（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且AB?14，求直线的倾斜角?的值． 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)?x?2?2x?2 （1）解不等式f(x)??2;
（2）设g(x)?x?a，对任意x?[a,??)都有 g(x)?f(x)，求a的取值范围.
?x?1?tcos?(t是参数)
?y?tsin?2015届高三年级第二次四校联考理科数学参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：ADCBA 6-10：DBCDC 11-12：BA 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.三、解答题：17、 (本小题满分12分)
解：（1）条件可化为2absinC?a2?b2?c2?2ab ?2分
32? 14. 15. 16. ?5000
223121sinC?cosC?1，5cos2C?8cosC?3?0 ?6分 23(5cosC?3)(cosC?1)?0 cosC??或cosC??1(舍)
54故sinC? ?8分
5由余弦定理可得
中华资源库 www.ziyuanku.com 122a?b2absinC?ab?()?10 2552当且仅当a?b?5时“＝”成立 ?12分
（2）S?18、 (本小题满分12分) 解：（1）设AD?AB?221BC?1，则C1A?1,C1D?2 22 ?C1A?AD?C1D ∴C1A?AD ???2分
13 ，C1E? 225?AE2?AB2?BE2?
49 ∴C1A2?AE2??C1E2
4 又?BE?∴C1A?AE ???4分 又AD∩AE?A
∴C1A?平面ABED ???5分
（2）由（1）知：C1A?平面ABED且AB?AD,分别
B x z C1 M A D y
E 以AB、AD、AC1为x轴、y 轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图 ???6分
1C1(0,0,1),E(1,,0),D(0,1,0)
2111111 ?M是C1E的中点 ∴M(,,) ∴BM?(?,,) ???8分
2422421 设平面C1DE的法向量为n?(x,y,z) DE?(1,?,0),C1D?(0,1,?1)
21???x?y?0?n?DE?0 由? 即? 令y?2 得n?(1,2,2) ???10分 2???n?C1D?0?y?z?0 则B(1,0,0), 设直线BM与平面C1DE所成角为?，则sin?? ∴ 直线BM与平面C1DE所成角的正弦值为
|BM?n||BM||n|?4 94. ???12分 919、(本小题满分12分) 解：（1）设等差数列{an}的公差为d。
则??a1?5d??3?a1?2 解得?
?d??1?6a1?15d??3 ∴an?2?(n?1)?3?n ???3分
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