2024-2024学年人教A版数学选修2-3课时规范训练：第二章 随机变量及其分布 能力检测

第二章能力检测

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)

1．(2017年漳州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )

A．0.477 C．0.954 【答案】C

2．设X的分布列如下，则P(X<2)等于( )

X P A．0.1 C．0.3 【答案】B

212

3．在一次考试中，某班语文、数学、外语平均分在80分以上的概率分别为，，，则该班的三科

555平均分都在80分以上的概率是( )

4A． 51C． 25【答案】D

4．已知某一随机变量ξ的分布列如下且Eξ＝6.3，则a的值为( )

ξ P A．5 C．7 【答案】C

5．(2017年岳阳模拟)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A为“至少一次出现反面”，事件B为“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝( )

3A． 87C．

8【答案】B

6．柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，取出的鞋一只是左脚，另一只是右脚且不成对的概率为( )

B．0.628 D．0.977

0 0.1 1 0.3 B．0.4 D．0.8

2 0.4 3 0.2 1B．

3D．

4 125

4 0.5 B．6 D．8

a 0.1 9 b 3B．

74D． 7

2A．

53C．

5【答案】A

1B．

54D．

5

7．某计算机网络有n个终端，每个终端在一天中使用的概率为p，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为( )

A．np(1－p) C．n 【答案】B

8．(2024年温州模拟)已知X的分布列

X P －1 1 20 1 31 1 6B．np D．p(1－p)

1231则在下列式子中：①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝.其中正确的个数是( )

3273A．0 C．2 【答案】C

9．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来．规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为( )

B．1 D．3

5

A． 161C．

6【答案】A

10.(2024年锦州期末)甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别21是5和2，在这个问题已被正确解答的条件下,甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为( ) 2129A.7 B.5 C.9 D.10 【答案】A 11.(2024年潮州模拟)一试验田某种作物一株所结果实个数X服从正态分布N(90,σ2)，且P(X<70)=0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，则X的方差为( ) A.3 B.2.1 C.0.3 D.0.21

5

B．

32

D．以上都不对

【答案】B

12.(2024年浙江模拟)甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为( ) A.1.2 B.1.5 C.1.8 D.2

【答案】C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

13．(2024年抚顺校级月考)已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X

14．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ，η，其分布列分别为

ξ P

0 0.4 η P 0 0.3 1 0.3 1 0.5 2 0.2 2 0.2 3 0.1 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． 【答案】乙

15．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于______．

【答案】0.128

1

16．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值且取每一个值概率均相等，若P(ξ＜x)＝，则x

12的取值范围是________．

【答案】(5,6]

三、解答题(本大题共6小题，满分70分)

17．(10分)某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败概率的4倍且每次试跳成功与否相互之间没有影响．

(1)求甲试跳三次，第三次才成功的概率； (2)求甲在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率．

【解析】设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为p，则失败概率为1－p.依题意有p＝4(1－p)，4

解得p＝.

5

(1)由于每次试跳成功与否相互之间没有影响， 所以试跳三次中第三次才成功的概率为 1?244

(1－p)2p＝??5?×5＝125. (2)甲的三次试跳可看成三次独立重复试验，设甲在三次试跳中恰有两次成功的概率为P，则

?4?2×1＝48. P＝C23

?5?5125

18．(12分)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S. (1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举 (2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．

【解析】(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}． 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，

所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9且有 121

P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，

663211

P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.

636故ξ的分布列为

ξ P 0 1 61 1 34 1 39 1 6A包含的基本事件；

19．(12分)某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：

T/分钟 频数/次 (1)求T的分布列与数学期望ET； (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

【解析】(1)由统计结果可得T的频率分布为

T/分钟 频率 以频率估计概率得T的分布列为 T P 25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1 25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1 25 20 30 30 35 40 40 10 从而数学期望ET＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)． (2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．P(A)＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2

＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，

故P(A)＝1－ P(A)＝0.91.

20．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．

(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列； (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． 【解析】(1)由题意，知X的可能取值为10,5,2，－3. P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72， P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08， P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02， 所以X的分布列为

X P －3 0.02 2 0.08 5 0.18 10 0.72 (2)设生产的4件甲产品中一等品有n(n≤4且n∈N*)件，则二等品有(4－n)件． 14

由题设，知4n－(4－n)≥10，解得n≥.

5又n∈N*，得n＝3或n＝4.

344所以P＝C34×0.8×0.2＋C4×0.8＝0.819 2.

故所求概率为0.819 2.

21.(2024年威海模拟)随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不断减少,“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题,为了了解公众对“延迟退休”的态度,某校课外研究性学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表:

年龄 人数 年龄 人数 [20,25) 4 [45,50) 6 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) 5 8 5 3 [50,55) [55,60) [60,65) [65,70) 7 3 5 4 年龄在[25,30),[55,60)的被调查者中赞成人数分别是3人和2人,现从这两组的被调查者中各随机选取2人,进行跟踪调查.

（1）求从年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成的概率;

（2）求选中的4人中,至少有3人赞成的概率;

（3）若选中的4人中,不赞成的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望. 【解析】（1）设“年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A, C233

则P(A)＝2＝. C510

（2）设“选中的4人中,至少有3人赞成”为事件B,

11122C2C1C213C2C13C2C23C2

则P(B)＝22＋22＋22＝. C5C3C5C3C5C32

（3）X的可能取值为0,1,2,3,

2C213C2

P(X＝0)＝22＝,

C5C310

12211C123C2C2＋C3C2C1

P(X＝1)＝＝, 2

C255C321111

C2132C2＋C3C2C2C1

P(X＝2)＝＝, 22

C5C33011C212C2C1

P(X＝3)＝22＝.

C5C315

所以X的分布列为

X P 1213122

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

105301515

22．(12分)(2017年天水检测)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表： 投资股市：

投资结果 概 率 购买基金：

投资结果 概 率 1

(1)当p＝时，求q的值；

4

(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一4

人盈利的概率大于，求p的取值范围；

5

(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一

获利20% p 不赔不赚 1 3亏损10% q 获利40% 1 2不赔不赚 1 8亏损20% 3 80 1 101 2 52 13 303 1 15

11

种，已知p＝，q＝，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？结合结果26并说明理由．

1

【解析】(1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，∴p＋＋q＝1.

315又p＝，∴q＝.

412

(2)记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资盈利”，

－－

则C＝AB∪AB∪AB且A，B独立． 1

由表可知P(A)＝，P(B)＝p，

2－－

∴P(C)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB) 11111＝(1－p)＋p＋p＝＋p. 222221143∵P(C)＝＋p>，∴p>.

225512

又p＋＋q＝1，q≥0，∴p≤. 3332综上，

53

(3)假设丙选择“投资股市”方案进行投资，X为丙投资股市的获利金额(单位：万元)， 则X的分布列为

X P 1135则E(X)＝4×＋0×＋(－2)×＝.

2884

假设丙选择“购买基金”方案进行投资，Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)， 则Y的分布列为

Y P 1115∴E(Y)＝2×＋0×＋(－1)×＝.

2366

∵E(X)>E(Y)，∴丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．

2 1 20 1 3－1 1 64 1 20 1 8－2 3 8