§11.3 条件概率、二项分布及正态分布
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
1.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为,两次闭合后都出现
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红灯的概率为,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )
5
1
A.10 B.5 C.5 D.2 答案 C
2.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和,甲、乙两人
3
42
3
1121
是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A. B. C. D.
4
3
7
12
3
2
5
5
答案 D
3.“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是( ) A.27 B.27 C.81 D.81 答案 B
4.某个部件由三个元件按如图所示的方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常
2
工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,50),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为( )
1
2
2
8
A. B. C. D. 5
2
5
8
1
1
3
3
答案 D
5.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( )
A.400 B.300 C.200 D.100 答案 C
6.某次考试共有12个选择题,每个选择题的分值为5分,每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的,A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握,最后选择题的得分为X分,B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的,对其他三个选项都没有把握,最后选择题的得分为Y分,则D(Y)-D(X)=( )
A.12 B.12 C.4 D.4 答案 A
125
35
27
23
1
7.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.当已知蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的概率为 . 答案
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考点二 正态分布
2
8.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X~N(800,50).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )
2
(参考数据:若X~N(μ,σ),有P(μ-σ A.0.977 2 B.0.682 6 C.0.997 4 D.0.954 4 答案 A 22 9.甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,??1),N(μ2,??2),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法错误的是 ( ) A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2=1.99 答案 D 2 10.在某项测量中,测得变量ξ~N(1,σ)(σ>0).若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,则ξ在(1,2)内取值的概率为( ) A.0.2 B.0.1 C.0.8 D.0.4 答案 D 2 11.已知随机变量x服从正态分布N(3,σ),且P(x≤4)=0.84,则P(2 12.近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2024年“双十一”的广告策略,随机调查了1 000 名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图. 由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间T近似服从N(μ,σ),其中μ用样本平均值代 2 替,σ=0.24. (1)计算μ,并利用该正态分布求P(1.51 (2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户,对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10 000名客户,记X为这10 000人中目标客户的人数. (i)求EX; (ii)问:10 000人中目标客户的人数X为何值的概率最大? 2 2 附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ),则P(μ-σ √0.24≈0.49. 解析 (1)μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×2.4+0.200×2.8+0.050×3.2)=2, 从而T服从N(2,0.24), 又σ=√0.24≈0.49, 从而P(1.51 =2P(μ-2σ 由题意知X服从B(10 000,0.477 25), 所以EX=10 000×0.477 25=4 772.5. (ii)X服从B(10 000,0.477 25), k10 000-k?? P(X=k)=C10 0000.477 25(1-0.477 25) k10 000-k?? =C10(k=0,1,2,…,10 000). 0000.477 25·0.522 75 设当X=k(k≥1,k∈N)时概率最大, ??(??=??)>??(??=??+1),则有{ ??(??=??)>??(??=??-1), ????+1 0.522 75C10 000>0.477 25C10 000,得{ ????-10.477 25C10>0.522 75C, 00010 000解得k=4 772. 故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大. 解题关键 对于(2),得出X服从B(10 000,0.477 25)是解题的关键. 综合篇知能转换 【综合集训】 考法一 独立重复试验及二项分布问题的求解方法 1.(2024山东潍坊模拟,6)某篮球队对队员进行考核,规则是:①每人进行3个轮次的投篮;②每个轮次每人投篮1 1 2 2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过,已知队员甲投篮1次投中的概率为,如果甲各次投篮投中与否 3 2 互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X的期望是( ) A.3 B. C.2 D. 3 3 8 5 答案 B 2.(2024福建厦门二模,6)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A.5 B.5 C.125 D.125 答案 D 3.(2024广东珠海一中等六校第一次联考)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为3,出现1的概率为3.若启动一次出现的数字为A=10101,则称这次试验成功,若成功一次得2分,失败一次得-1分,则100次独立重复试验的总得分X的方差为 . 答案 30 800729 1 2 2 3 18 54 3
(浙江专用)2024届高考数学一轮复习专题十一概率与统计11.3条件概率、二项分布及正态分布试题(含解析)
