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3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系
【基础知识在线】
知识点一 空间的方向向量与平面的法向量★★★ 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量 利用方向向量与法向量表示空间角 利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系 知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系
知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★
考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系
【解密重点·难点·疑点】
问题一：空间的方向向量与平面的法向量
1. 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向，这个向量a叫做直线的方向向量. 2. 直线l??，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面?的法向量.
(1)平面?的一个法向量垂直于与平面?共面的所有向量.
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(2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法
（1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可.
(2)已知平面内两不共线向量a??a1,a2,a3?,b??b1,b2,b3?时，常用待定系数法: 设法向量u??x,y,z?,由???a?n?0?a1x?a2y?a3z?0得?在此方程组中，对x,y,z中
??b?n?0,?b1x?b2y?b3z?0,的任一个赋值，求出另两个，所得u即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量.
4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 :
设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面?,?的法向量分别为u,v，则 线线平行：l//m?a//b?a?kb,k?R; 即：两直线平行或重合?两直线的方向向量共线． 线线垂直：l?m?a?b?a?b?0; 即：两直线垂直?两直线的方向向量垂直． 线面平行：l//??a?u?a?u?0; 即：直线与平面平行
直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外．
线面垂直：l???a//u?a?ku,k?R; 即：直线与平面垂直
直线的方向向量与平面的法向量共线
直线的方向向量与平面内
两条不共线直线的方向向量都垂直．
面面平行：?//??u//v?u?kv,k?R; 即：两平面平行?两平面的法向量共线． 面面垂直：????u?v?u?v?0.
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即：两平面垂直
两平面的法向量垂直．
问题二：空间中线线、线面、面面平行的向量坐标表示
1. 设直线l,m的方向向量分别为a??a1,a2,a3?,b??b1,b2,b3?，则 线线平行：l//m?a//b?a?kb?a1?ka2,b1?kb2,c1?kc2?k?R?.
2. 设直线l的方向向量分别为a??a1,a2,a3?,平面?的法向量分别为u??b1,b2,b3?， 线面平行：l//??a?u?a?u?0?a1a2?b1b2?c1c2?0. 3.平面?,?的法向量分别为u??a1,a2,a3?,v??b1,b2,b3?，
面面平行：?//??u//v?u?kv?a1?ka2,b1?kb2,c1?kc2,?k?R?.
问题三：空间中线线、线面、面面垂直的向量表示
1.设直线l,m的方向向量分别为a??a1,a2,a3?,b??b1,b2,b3?，则 线线垂直：l?m?a?b?a?b?0?a1a2?b1b2?c1c2?0.
2.设直线l的方向向量分别为a??a1,a2,a3?,平面?的法向量分别为u??b1,b2,b3?， 线面垂直：l???a//u?a?ku?a1?ka2,b1?kb2,c1?kc2,?k?R?. 3.平面?,?的法向量分别为u??a1,a2,a3?,v??b1,b2,b3?， 面面垂直：????u?v?u?v?0?a1a2?b1b2?c1c2?0.
【点拨思维·方法技巧】 一．求平面的法向量
立体几何中的向量方法-平行与垂直
