人教版高中数学选修2-1同步练习：2.1 曲线与方程

2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程

题号 答案

一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)

1.已知曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的

( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 2.方程|y|-1=

表示的曲线是 ( )

A. 两个半圆 B. 两个圆 C. 抛物线

D. 一个圆

中的

( )

3.方程x2-xy+2y+1=0表示的曲线经过点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10),DA.1个 C.3个

B.2个 D.4个

=0所表示的曲线是 ( )

4.方程(x+y-1)

图L2-1-1

5.若平面内动点P到两点A,B的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1),则动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆.已知A(-2,0),B(2,0),λ=,则此阿波罗尼斯圆的方程为 ( ) A. x2+y2-12x+4=0 B. x2+y2+12x+4=0 C. x2+y2-x+4=0 D. x2+y2+x+4=0

6.已知动点P在曲线2y2-x=0上移动,则点A(-2,0)与点P连线的中点的轨迹方程是 ( ) A. y=2x2 B. y=8x2 C. x=4y2-1 D. y=4x2-

7.在平面直角坐标系中,动点P(x,y)到两坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,记点P的轨迹为曲线W,则有下列命题:

①曲线W关于原点对称; ②曲线W关于x轴对称; ③曲线W关于y轴对称; ④曲线W关于直线y=x对称.

其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

8.方程|x-1|+|y-1|=1表示的曲线所围成的图形的面积是 . 9.给出下列说法:

①方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线; ②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2; ③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点.

其中正确说法的序号是 . 10.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足

·=12,则点P的轨迹方程为 .

11.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m= .

三、解答题(本大题共2小题,共25分)

12.(12分)已知△ABC的两个顶点坐标为A(-2,0),B(0,-2),点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.注:设△ABC的顶点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心为G

13.(13分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.

14.(5分)若直线y=x+b与曲线y=3-有两个不同的公共点,则实数b的取值范围是 .

,0)的距离与它到定直线l:x=-的距离之比,

15.(15分)已知在平面直角坐标系中,动点M到定点F(-为常数.

(1)求动点M的轨迹Γ的方程; (2)设点A

,若P是(1)中轨迹Γ上的动点,求线段PA的中点B的轨迹方程.

2.1 曲线与方程

2.1.1 曲线与方程

2.1.2 求曲线的方程

1.B [解析] 设C1的方程为x+y+1=0,C2的方程为2x+2y-1=0,当x=1,y=1时,满足1+1+1=2+2-1,但是点(1,1)并不是两曲线交点,所以由“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”推不出“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”,反之成立,所以“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的必要不充分条件,故选B. 2.A [解析] 当y≥1时,原式可化为(x-1)2+(y-1)2=1,当y≤-1时,原式可化为(x-1)2+(y+1)2=1,∴方程|y|-1=

表示的曲线为两个半圆.故选A.

3.C [解析] 把(1,-2)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得1+2-4+1=0,满足方程,所以点A在曲线上.把(2,-3)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得4+6-6+1≠0,不满足方程,所以点B不在曲线上.把(3,10)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得9-30+20+1=0,满足方程,所以点C在曲线上.把0,-0-0-1+1=0,满足方程,所以点D在曲线上.故选C. 4.D [解析] 原方程等价于x2+y2=4内的部分.故选D. 5.D [解析] 依题意,设P(x,y),∵=,∴=,整理得x2+y2+x+4=0.故选D.

或x2+y2=4,其中

表示直线x+y-1=0上不在圆

代入方程x2-xy+2y+1=0,可得

6.C [解析] 设点A(-2,0)与点P的连线的中点坐标为(x,y),则由中点坐标公式可得P(2x+2,2y),∵动点P在曲线2y2-x=0上移动,∴2×(2y)2-(2x+2)=0,即x=4y2-1.故选C. 7.A [解析] 曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=两边平方得2|xy|=-2x-2y+2,即|xy|+x+y=1.

,

①若xy>0,则xy+x+y+1=2,即(x+1)(y+1)=2, ∴y=

-1,函数的图像是以(-1,-1)为中心的双曲线的一部分.

②若xy<0,则xy-x-y+1=0,即(x-1)(y-1)=0, ∴x=1(y<0)或y=1(x<0).

作出图像如图所示,∴曲线W关于直线y=x对称. 故选A. 8.2

[解析] 方程|x-1|+|y-1|=1可写成长为

的正方形,其面积为2.

或或或图形如图所示,它是边

9.③ [解析] 对于①,方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线(除掉点(2,0)),所以①错误;对于②,到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2或y=2,所以②错误;对于③,方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示点(-2,2),(-2,-2),(2,-2),(2,2)四个点,所以③正确. 10.x2+y2=16 [解析] 设P(x,y),则

=(-2-x,-y),

=(2-x,-y),于是

·=(-2-x)(2-x)+y2=12,化简得

x2+y2=16,即点P的轨迹方程为x2+y2=16.

11.-1 [解析] ∵A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,

∴∴

12.解:设C(x1,y1),重心G(x,y),由重心坐标公式得3x=-2+0+x1,3y=0-2+y1, 则x1=3x+2,y1=3y+2.∵C(x1,y1)在曲线y=3x2-1上移动,∴3y+2=3(3x+2)2-1. 整理得y=9x2+12x+3.故△ABC的重心的轨迹方程为y=9x2+12x+3.

13.解:如图所示,设点A(a,0),B(0,b),M(x,y).因为M为线段AB的中点,所以a=2x,b=2y,即A(2x,0),B(0,2y). kPB=-1.而kAP=当2x≠2,即x≠1时,因为l1⊥l2,所以kAP·kPB=

,所以·=-1(x≠1),

(x≠1),

整理得,x+2y-5=0(x≠1).