∴∠ECB=∠PEG，
∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90°， 在△EPG与△CEB中，
，
∴△EPG≌△CEB， ∴EB=PG=x， ∴AE=1﹣x，
∴S=（1﹣x）?x=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，（0＜x＜1）， ∵﹣＜0，
∴当x=时，S的值最大，最大值为，．
考点：四边形综合题
9．已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形 AMCN是菱形，证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．证明见解析； 【解析】
试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，∠B=∠D=90°，利用HL即可证明；
（2）若四边形AMCN为菱形，则有AM=AN，从已知可得∠BAM=∠FAN，又∠B=∠F=90°，所以有△ABM≌△AFN，从而得AB=AF，因此当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD∥BC． ∵四边形AECF是矩形，∴AE∥CF．∴四边形AMCN是平行四边形．∴AM＝CN．在Rt△ABM和Rt△CDN中，AB＝CD，AM＝CN，∴Rt△ABM≌Rt△CDN． （2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．
∵四边形ABCD、AECF是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90°．∴∠BAD－∠NAM＝∠EAF－∠NAM，即∠BAM＝∠FAN．又∵AB＝AF，∴△ABM≌△AFN．∴AM＝AN．由（1）知四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形． 考点：1．矩形的性质；2．三角形全等的判定与性质；3．菱形的判定．
10．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG． （1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由； （3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；
（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）∠PAG =45°，PG=OG+BP．理由见解析（3）y=
、
【解析】
．
x﹣3．（4）
试题分析：(1)由AO=AD，AG=AG，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出△AOG≌△ADG即可．(2)首先根据三角形全等的判定方法，判断出△ADP≌△ABP，再结合△AOG≌△ADG，可得∠DAP=∠BAP，∠1=∠DAG；然后根据∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，求出∠PAG的度数；最后判断出线段OG、PG、BP之间的数量关系即可．(3)首先根据△AOG≌△ADG，判断出∠AGO=∠AGD；然后根据∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，判断出当∠1=∠2时，∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，求出∠1=∠2=30°；最后确定出P、G两点坐标，即可判断出直线PE的解析式．
(4)根据题意，分两种情况：①当点M在x轴的负半轴上时；②当点M在EP的延长线上
时；根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，求出M点坐标是多少即可． 试题解析：(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中，
（HL） ∴△AOG≌△ADG．
(2)在Rt△ADP和Rt△ABP中，∴△ADP≌△ABP， 则∠DAP=∠BAP；
∵△AOG≌△ADG， ∴∠1=∠DAG； 又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
∴2∠DAG+2∠DAP=90°， ∴∠DAG+∠DAP=45°， ∵∠PAG=∠DAG+∠DAP， ∴∠PAG=45°； ∵△AOG≌△ADG， ∴DG=OG， ∵△ADP≌△ABP， ∴DP=BP， ∴PG=DG+DP=OG+BP． (3)解：∵△AOG≌△ADG， ∴∠AGO=∠AGD， 又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，
∴∠AGO=∠PGC， 又∵∠AGO=∠AGD， ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC， 又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°， ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°， ∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°； 在Rt△AOG中， ∵AO=3， ∴OG=AOtan30°=3×
=
，
∴G点坐标为（1），
，0），CG=3﹣， 在Rt△PCG中，PC===3（﹣
∴P点坐标为：（3，3
，
﹣3 ）， 设直线PE的解析式为：y=kx+b， 则
解得：， ∴直线PE的解析式为y=x﹣3．
(4)①如图1，当点M在x轴的负半轴上时，， ∵AG=MG，点A坐标为（0，3）， ∴点M坐标为（0，﹣3）．
②如图2，当点M在EP的延长线上时，， 由（3），可得∠AGO=∠PGC=60°，
∴EP与AB的交点M，满足AG=MG， ∵A点的横坐标是0，G点横坐标为∴M的横坐标是2
，纵坐标是3， ∴点M坐标为（2
，3）．
，3）．
，
综上，可得 点M坐标为（0，﹣3）或（2考点：几何变换综合题．
历年中考数学易错题汇编-平行四边形练习题含详细答案
