则由题意可得，，
解得，，
∴直线AC、BE解析式分别为y=﹣x﹣，y=x﹣，
联立两直线解析式可得∴F点坐标为（﹣1，﹣1）； （3）四边形CDEF是菱形．
，解得，
证明：∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2， ∴D（﹣1，﹣2）， ∵F（﹣1，﹣1）， ∴DF⊥x轴，且CE∥x轴， ∴DF⊥CE，
∵C（0，﹣），且F（﹣1，﹣1），D（﹣1，﹣2）， ∴DF和CE互相平分， ∴四边形CDEF是菱形． 【点睛】
本题考查菱形的判定方法，二次函数的性质，以及二次函数与二元一次方程组．
7．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．
（1）求证：图1中的 且HM=JN． ①求证：IH=IJ
PBC是正三角形：
（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，
②请求出NJ的长；
（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12-63（3）33＜a＜43，a＞43 【解析】
分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；
（2）①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一点Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x，则IQ=QN=2x、QJ=3x，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；
（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可． （1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF ∴PB=PC
∵沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处 ∴PB=BC ∴PB=PC=BC
∴△PBC是正三角形： （2）证明：①如图
∵矩形AHIJ ∴∠H=∠J=90° ∵△MNJ是等边三角形 ∴MI=NI
在Rt△MHI和Rt△JNI中
?MI?NI ?MH?NJ?∴Rt△MHI≌Rt△JNI（HL） ∴HI=IJ
②在线段IJ上取点Q，使IQ=NQ
∵Rt△IHM≌Rt△IJN， ∴∠HIM=∠JIN， ∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°， ∴∠HIM=∠JIN=15°， 由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15°， ∴∠NQJ=30°，
设NJ=x，则IQ=QN=2x，QJ=QN2?NJ2=3x， ∵IJ=6cm， ∴2x+3x=6，
∴x=12-63，即NJ=12-63（cm）． （3）分三种情况： ①如图：
设等边三角形的边长为b，则0＜b≤6， 则tan60°=3=ab， 2∴a=
3b， 263=33； 2∴0＜b≤②如图
当DF与DC重合时，DF=DE=6，
∴a=sin60°×DE=
63=33， 266??43当DE与DA重合时，a=sin60?， 32∴33＜a＜43； ③如图
∵△DEF是等边三角形 ∴∠FDC=30°
66??43∴DF=cos30? 32∴a＞43 点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．
8．正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F，设线段BE的长度为x．
（1）如图1，当AD=2OF时，求出x的值；
（2）如图2，把线段CE绕点E顺时针旋转90°，使点C落在点P处，连接AP，设△APE的面积为S，试求S与x的函数关系式并求出S的最大值．
【答案】（1）x=
﹣1；
（2）S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜1）， 当x=时，S的值最大，最大值为，． 【解析】
试题分析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，由平行线等分线段定理得到CM=ME，根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，
求得OF=OM=解方程
，即可得到结果；
（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，根据已知条件得到∠ECB=∠PEG，根据全等三角形的性质得到EB=PG=x，由三角形的面积公式得到S=（1﹣x）?x，根据二次函数的性质即可得到结论．
试题解析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1， ∵OA=OC， ∴CM=ME， ∴AE=2OM=2OF， ∴OM=OF， ∴
，
∴BF=BE=x， ∴OF=OM=∵AB=1， ∴OB=∴∴x=
﹣1； ，
， ，
（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2， ∵∠CEP=∠EBC=90°，
历年中考数学易错题汇编-平行四边形练习题含详细答案
