∵|CF﹣AE|=2，EF=23，AE=CK，∴FK=2， 在Rt△EFK中，tan∠FEK=∴EK=2FK=4，OF=
3，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°， 31EK=2， 21PF=1，HF=3，OH=2﹣3， 2∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2， 在Rt△PHF中，PH=∴OP=1?2?32??2?6?2.
如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°， ∴∠BOP=90°， ∴OP=
323OE=， 3323. 3综上所述：OP的长为6?2或【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
4．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．
（1）求证：△AED≌△CEB′；
（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．
【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；
（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形． 【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D ∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠 ∴BC＝B'C，∠B＝∠B'
∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC ∴△ADE≌△B'EC （2）四边形AECF是菱形 ∵△ADE≌△B'EC ∴AE＝CE ∵AE＝CE，EF⊥AC
∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF ∴AF＝CF ∵CD∥AB
∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF ∴∠AEF＝∠EFA ∴AF＝AE ∴AF＝AE＝CE＝CF ∴四边形AECF是菱形 【点睛】
本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．
5．猜想与证明：
如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为 ．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．
【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析. 【解析】
试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.
试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF， ∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM， 在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH（ASA） ∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=DE， ∴DM=HM=ME， ∴DM=ME．
（1）、如图1，延长EM交AD于点H， ∵四边形ABCD和CEFG是矩形， ∴AD∥EF， ∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM， 在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH（ASA） ∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM ∴DM=HM=ME， ∴DM=ME，
（2）、如图2，连接AE， ∵四边形ABCD和ECGF是正方形， ∴∠FCE=45°，∠FCA=45°， ∴AE和EC在同一条直线上， 在RT△ADF中，AM=MF， ∴DM=AM=MF， 在RT△AEF中，AM=MF， ∴AM=MF=ME， ∴DM=ME．
考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.
6．如图，抛物线y=mx2+2mx+n经过A（﹣3，0），C（0，﹣点B．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
32）两点，与x轴交于另一（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，写出点E的坐标，并求AC、BE的交点F的坐标 （3）若抛物线的顶点为D，连结DC、DE，四边形CDEF是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
【答案】（1）y=形．证明见解析 【解析】 【分析】
123x+x﹣；（2）F点坐标为（﹣1，﹣1）；（3）四边形CDEF是菱22将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式； 根据（1）题所得的抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以及B、C点的坐标，由CE∥x轴，可知C、E关于对称轴对称。根据A、C点求得直线AC的解析式，根据B、E点求出直线BE的解析式，联立方程求得的解，即为F点的坐标；
由E、C、F、D的坐标可知DF和EC互相垂直平分，则可判定四边形CDEF为菱形． 【详解】
（1）∵抛物线y=mx2+2mx+n经过A（﹣3，0），C（0，﹣）两点，
∴，解得
，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣； （2）∵y=x2+x﹣， ∴抛物线对称轴为直线x=﹣1， ∵CE∥x轴，
∴C、E关于对称轴对称， ∵C（0，﹣）， ∴E（﹣2，﹣）， ∵A、B关于对称轴对称， ∴B（1，0），
设直线AC、BE解析式分别为y=kx+b，y=k′x+b′，
历年中考数学易错题汇编-平行四边形练习题含详细答案
