2.3.1 平面向量基本定理
一、课题：平面向量基本定理
二、教学目标：1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系； 2．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的 关系来用坐标表示；
3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。 三、教学重、难点：1．平面向量的坐标运算； 2．对平面向量的坐标表示的理解。 四、教学过程： （一）复习：
1．平面向量的基本定理：a??1e1??2e2；
2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(x,y)表示，那么，每一个向量可否也用 一对实数来表示？ （二）新课讲解：
1．向量的坐标表示的定义：
分别选取与x轴、y轴方向相同的单位向量i，j作为基底，对于任一向量a，
a?xi?yj，（x,y?R），实数对(x,y)叫向量a的坐标，记作a?(x,y)．
其中x叫向量a在x轴上的坐标，y叫向量a在y轴上的坐标。
y a 说明：（1）对于a，有且仅有一对实数(x,y)与之对应；
A(x,y)
（2）相等的向量的坐标也相同； j
x O i （3）i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0)；
（4）从原点引出的向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标。
例1 如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d， 并求出它们的坐标。
y A2 解：由图知：a?2i?2j?(2,2)；
b??2i?2j?(?2,2)； c??2i?2j?(?2,?2)；
b
A O a A1
d?2i?2j?(2,?2)．
x
c 2．平面向量的坐标运算：
问题：已知a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，求a?b，a?b．
d
y
A(x1,y1)
解：a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j
即a?b??x1?x2,y1?y2?．
B(x2,y2)
x
O
同理：a?b?(x1?x2,y1?y2)．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
3．向量的坐标计算公式：
已知向量AB，且点A(x1,y1)，B(x2,y2)，求AB的坐标．
AB?OB?OA?(x2,y2)?(x1,y1)?(x2?x1,y2?y1)．
归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标； （2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。
4．实数与向量的积的坐标：
已知a?(x,y)和实数?，求?a??(xi?yj)??xi??yj?(?x,?y) 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
例2 已知a?(2,1)，b?(?3,4)，求a?b，a?b，3a?4b的坐标．
解：a?b=(2,1)?(?3,4)?(?1,5)；a?b?(2,1)?(?3,4)?(5,?3)；
3a?4b?3(2,1)?4(?3,4)?(?6,19)．
例3 已知 ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(?2,1)、(?1,3)、(3,4)，求顶点D的坐
标。
解：设顶点D的坐标为(x,y)．
例4 （1）已知a的方向与x轴的正向所成的角为120，且|a|?6，则a的坐标为(?3,33)，
∴?∵AB?(?1?(?2),3?1)?(1,2)，DC?(3?x,4?y)， 由AB?DC，得(1,2)?(3?x,4?y)．
?1?3?x?x?2 ∴? ∴顶点D的坐标为(2,2)．
?2?4?y?y?2(?3,?33)．
（2）已知a?(1,?2)，b?(?3,1)，c?(11,?7)，且c?xa?yb，求x，y．
五、课堂小结：1．正确理解平面向量的坐标意义；
解：（2）由题意，(11,?7)?x(1,?2)?y(?3,1)?(x?3y,?2x?y)， ∴??11?x?3y?x?2 ∴?．
??7??2x?y?y??3
2．掌握平面向量的坐标运算；
3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题。 六、作业：
2 补充：1．已知向量a?(x?3,x?3x?4)与AB相等，其中A(1,2)，B(3,2)，求x；
2．已知向量a?(1,2)，b?(x,1)，??a?2b，v?2a?b，且uv，求x．
高中数学 2.3.1平面向量基本定理教案1 新人教A版必修4
