高密一中物理奥赛辅导资料 编选：孙洲元 2008-8-30
第24届全国中学生物理竞赛预赛题试卷
本卷共八题，满分200分
一．（25分）填空题
1．2006年诺贝尔物理学奖授予美国科学家约翰?马瑟和乔治?斯穆特，以表彰他们发现了宇宙微波背景辐射的黑体国徽形式和各向异性。这一发现为有关宇宙起源的__________理论提供了进一步的支持，使宇宙学进入了“精确研究”时代。
2．恒星演化到了后期，某些恒星在其内部核燃料耗尽时，会发生强烈的爆发，在短短的几天中，亮度陡增千万倍甚至上亿倍。我国《宁史》第五十六卷中对当时观测到的上述现象作了详细记载。2006年5月是我国发现此现象一千周年，为此在杭州召开了有关的国际学术研讨会。天文学上把演化到这一阶段的恒星称为__________，恒星演变到这一阶段，预示着一颗恒星的终结。此后，它可能成为__________或__________。
3．2006年11月21日，中国、欧盟、美国、日本、韩国、俄罗斯和印度七方在法国总统府正式签署一个能源方面的联合实施协定及相关文件，该协定中的能源是指__________能源。
4．潮汐是一种常见的自然现象，发生在杭州湾钱塘江入海口的“钱江潮”是闻名世界的潮汐现象。在农历初一和十五前后各有一次大潮，在两次大潮之间又各有一次小潮。
试把每月中出现两次大潮时球、月球和太阳的相对位置示意图定性地画在下面。
试把每月中出现两次小潮时球、月球和太阳的相对位置示意图定性地画在下面。
5．如图所示，用双线密绕在一个长直圆柱上，形成两个螺线管 a’ b’ aa’和bb’（分别以实线和虚线表示），已知两个线圈的自感都是L。若 把a与b两端相连，把a’和b’两端接入电路，这时两个线圈的总自感 a b 等于_________；若把b与a’两端相连，把a和b’两端接入电路，这时
两个线圈的总自感等于_________；若把a与b两端相连作为一端，a’与b’ 相连作为另一端，把这两端接入电路，这时两个线圈的总自感等于_________。
二．（25分）如图所示，一块光滑的平板能绕水平固定轴HH’调节 其与水平面所成的倾角。板上一根长为l＝1.00 m的轻细绳，它的一端 P ? H l H’ 系住一质量为m的小球P，另一端固定在HH’轴上的O点。当平板的倾
O 角固定在?时，先将轻绳沿水平轴HH’拉直（绳与HH’重合），然后给小 水平面 球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0＝5.0 m/s。若小球能保持在板面 内做圆周运动，问倾角?的值应在什么范围内（取图中处箭头所示方向为?的正方向）。取重力加速度g＝10 m/s2。
三．（25分）如图所示，绝热的活塞S把一定质量的稀薄气体（可
视为理想气体）密封在水平放置的绝热气缸内。活塞可在气缸内无摩 擦地滑动。气缸左端的电热丝可通弱电流对气缸内气体十分缓慢地加 S 热。气缸处在大气中，大气压强为p0。初始时，气体的体积为V0、压
强为p0。
已知1摩尔该气体温度升高1K时其内能的增量为一已知恒量c，求以下两种过程中电热丝传给气体的热量Q1与Q2之比。
1．从初始状态出发，保持活塞S位置固定，在电热丝中通以弱电流，并持续一段时间，然后停止通电，待气体达到热平衡时，测得气体的压强为p1。
1
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2．仍从初始状态出发，让活塞处于自由状态，在电热丝中通以弱电流，并持续一段时间，然后停止通电，最后测得气体的体积为V2。
四、（25分）如图所示，M1M2和M3M4都是
O’ 由无限多根无限长的外表面绝缘的细直导线紧密 a b 排列的导线排横截面，两导线排相交成120?，OO’ M3 I0 M2 d c 为其角一平分线。每根细导线中都通有电流I，两 导线排中电流方向相反，其中M1M2中电流的方向 60? 60? 垂直纸面向里。导线排中单位长度上细导线的根数 为?。图中的矩形abcd是用N型半导体材料做成 －－
的长直半导体片的横截面，（ab?bc），长直半导体片与导线排中的细导线平行，并在片中通有均匀
M1 O M4
电流I0，电流方向垂直纸面向外。已知ab边与OO’垂直，－bc＝l，该半导体材料内载流子密度为n，每个载流子所带电荷量的大小为q。求此半导体片的左右两个侧面之间的电势差。
已知当细的无限长的直导线中通有电流I时，电流产生的磁场离直导线的距离为r处的磁感应I
强度的大小为B＝k ，式中k为已知常数。
r
五、（25分）如图所示，ACD是由均匀细导线制成的边长为d的等 A 边三角形线框，它以AD为转轴，在磁感应强度为B的恒定的匀强磁场中 B x P 以恒定的角速度?转动（俯视为逆时针旋转），磁场方向与AD垂直。已知
d C 三角形每条边的电阻都等于R。取图示线框平面转至与磁场平行的时刻为 t＝0。 D 1．求任意时刻t线框中的电流。
2．规定A点的电势为0，求t＝0时，三角形线框的AC边上任一点P（到A点的距离用x表示）的电势UP，并画出UP与x之间关系的图线。
六、（25分）空间存在着垂直于纸面方向的均匀磁场，其方向随时间作周期性变化，磁感应强度B随时间t变化的图线如图
B/T 图1 y/mm 图2 1所示，规定B＞0时，磁场的 方向穿出纸面。现在磁场区域
0.1 中建立一与磁场方向垂直的 平面直角坐标Oxy，如图2所
O 5 10 15 20 25 30 35 40 t/ms －
示，一电荷量q＝5??107C、
－0.1 －
质量m＝5?1010kg的带电粒
子，位于原点O处，在t＝0 O x/mm 时刻以初速度v0＝? m/s沿x轴正方向开始运动。不计重力的作用、不计磁场的变化所产生的其它影响。
1．试在图2中画出0-20 ms时间内粒子在磁场中运动的轨迹，并标出图2中纵横坐标的标度值（评分时只按图评分，不要求写出公式或说明。）
2．在磁场变化N个（N为整数）周期的时间内带电粒子的平均速度的大小等于______________。
2
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七、（25分）如图所示，L是一个焦距为f的薄凸透镜（F与F’为其焦点）。在透镜右侧焦点F’处放置一曲率半径大小为 L R的球面反射镜（其顶点位于F’处），透镜和球面镜组成一轴
F O F’ 对称的光学系统。在透镜L左侧光轴上有限远处有一发光点P，
它发出的傍轴光线经此光学系统后，恰好成像在P点。试在下面第1和第2小题中填空，在第3小题中作图。
1．若球面镜为凹面镜，则P点到透镜的距离等于_____________；若球面镜为凸面镜，则P点到透镜的距离等于_____________。
2．若将一短细杆垂直于光轴放置杆下端位于P点，则此细杆经上述光学系统所成的最后的像的大小与物的大小之比对凹面镜等于_____________；对凸面镜等于_____________。
3．若球面镜的半径大小R＝2f，试按作图法的规范要求，画出第2问中短杆对上述光学系统逐次成的像及成像光路图。（要求将凹面镜和凸面镜分别画在两张图上。评分时只按图评分，不要求写出作图的理由和说明，但须用已知量标出各个像在光轴上的具体位置。）
八、（25分）如图所示，有一固定的、半径为a、内壁光滑的半
球形碗（碗口处于水平位置），O为球心。碗内搁置一质量为m、边长 O a C 为a的等边三角形均匀薄板ABC。板的顶点A位于碗内最低点，碗的 a 最低点处对A有某种约束使顶点A不能滑动（板只能绕A点转动）。 B a a 1．当三角形薄板达到平衡时，求出碗对顶点A、B、C的作用力
A
的大小各为多少。
2．当板处于上述平衡状态时，若解除对A点的约束，让它能在碗的内表面上从静止开始自由滑动，求此后三角形薄板可能具有的最大动能。
参考答案：
3
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一．1、大爆炸。2、超新星，中子星，黑洞。3、核聚变。4、日地月一直线（日月在地球同侧和异侧两种情况，日地连线与月地连线垂直两种情况。5、0，4 L，L。
v2115
二．T＋mg sin ?＝m ， mv02＝ mv2＋mgl sin ?，T≥0，可解得?≤arcsin ，当?＜0时
l2265
同样可得?≥－arcsin 。
6
mm
三． 初状态：P0V0＝ RT0，过程1是等容过程，气体不做功，Q1＝ c（T1－T0），末状态：
??mcmP1V0＝ RT1，可解得：Q1＝ V0（p1－p0），过程2是等压过程，Q2＝ c（T2－T0）＋p0（V2－V0），
R??c＋RV0（p1－p0）mQ1c
末状态：P0V2＝ RT2，可解得：Q2＝ p0（V2－V0），所以 ＝ 。
RQ2c＋R p0（V2－V0）?四、
1．导线排的电流产生的磁场：
取导线排方向为x轴，垂直于导线排方向为y轴，位于x到x＋?x之间的细导线可以看作“一根”通有电流I??x的长直导线， 在P点产生I??xI??x
的磁感应强度为?B＝k ，?Bx＝k cos rr
y ?B P ? ?? x ? x x M1 O M2 ?＝kI???，由对称性知B在y方向的分量可以互相抵消，则B＝k?I?，两导线排产生的磁场方向夹角为120?，所以合磁场的磁感应强度仍为B0＝k?I?，
2．半导体片两则的电势差：
－。fB＝qvB0＝fE＝Uq ，所以U＝k?I?I0 。 I0＝nqvS＝nqvlab
nql－ab
五、由?＝Bd?3 3
d cos ?t，＝ Bd2? cos ?t，I44
UP 3 Bd2? 243 x3
＝ ＝ Bd2? cos ?t，UP＝?AP－IR ＝ B?（x2
3R12Rd823 13 － xd）＝ B?（x－ d）2－ Bd2?，为抛物线，38372213 x＝0和x＝ d 时UP＝0，顶点为x＝ d， UP＝ Bd2?，
3372x＝d 时UP＝
3
Bd2?，所以图线如图所示。 24
? O d/3 2d/3 d x －3 Bd2? 72
六、如图所示， 22 m/s。
f（R－f）f（R＋f）
七．1、 ， ，
RR2．1；1，
y/mm 40 30 20 10 O 10 20 30 40 x/mm
4
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3．凹面镜： 凸面镜：
f/2 L a’ a C P O a’’’ a’’ f f L a’’ a P F O C a’’’ a’’ f/2 f f f f 八、
－－
1．由几何关系知道OABC是边长为a正四面体，则有NBC＝3 NB，NB＝NC，OD＝AD＝3 a3 a/2－－
a/2，OP＝AG＝3 a/3，?ODA＝?－2?，所以由正弦定理得： ＝ ，则sin ?＝2 /3 ，
sin 2?sin ?－
cos ?＝3 /3，在?APO中，AP＝
－
3 1AP
a/3＋a－2 a? ＝2 /3 ，由正弦定理得： ＝
3sin ?3
2
2
－－
OPOANANBmg
＝＝，对力三角形也有： ＝ ＝＝，可解得：NA＝6mg/3，sin ?sin（?＋?）sin ?sin ?sin（?＋?）NB＝NC＝mg/3，
－－
2．解除约束后重心最低的位置为板处于水平位置时，原来重心高为h＝AGcos?DAO＝AGcos ?6－2－＝a/3，，最后重心高为h’＝a－OG'＝a－2 a/3 ，Ek＝mg（h－h’）＝ mga。
3
5
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1.因A点位于半球形碗的最低点，等边三角形薄板的BC边一定沿水平方向.作连线OB和OC，因O为半球形碗的球心，A、B、C均在球面上，故有
(1)
ABC是等边三角形，
(2)
故OABC为正四面体，如图1所示.三角形薄板所受的力有：
(i)B、C处碗面对板的作用力NB和NC均垂直于碗面，指向球心O.又由对称性可知， NB=NC (3)
它们的合力NBC沿∠COB的角平分线DO的方向，其大小为
(4)
DO的长度 (5)
(ii)重力FC的大小FC=mg (6)
它作用于三角形ABC的重心G，G位于AD上，与A的距离
(7)
重力的方向与OA平行，该力位于OAD平面内，与OD相交.用P表示其交点，则
(8)
(iii)设碗面在A点作用于薄板的约束力为NA，薄板(或可看成刚性正四面体OABC)在NBC、FC和NA三力作用下保持平衡，这三力应在同一平面内，且应共点，即NA应与FG和NBC都在OAD平面内，且应通过P点，如图2所示，在三角形ODA中
6
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，
设∠DOA=α，则∠ODA=π-2α
在三角形ADO中，由正弦定理，有
由此可得， (9)
设∠OAP=β，在三角形OPA中，由余弦定理得
由正弦定理得
即 (10)
FG、NBC和NA三力平衡，它们应形成封闭的三角形，如图3所示.由正弦定理得
(11)
由(10)、(11)式和(3)、(4)、(6)各式得
(12)
(13)
7
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得 (14)
2.解除对A点的约束后，A、B、C三顶点将从静止开始沿碗面滑动.根据对称性可知，薄板处于水平位置时重心最低，从而重力势能最小.根据机械能守恒定律，此时薄板的动能最大.此时薄板的重心将移至O点正下方的G′点，如图4所示.由几何关系并考虑到(7)式，G′相对碗最低点的高度.
(15)
A点被约束时薄板重心为G点，参阅图1，可知G点相对碗最低点的高度
由(7)和(9)式可得
(16)
(17)
由(15)、(17)两式可求得薄板从A点约束解除到处于水平状态过程中，其重心高度减少量的最大值，从而求出重力势能的减少量的最大值，最后即求得薄板具有的最大动能为
评分标准：本题25分.
(18)
第1小题20分.(4)式2分，(10)式7分，(11)式7分，(12)式2分，(14)式2分. 第2小题5分.(15)式1分，(17)式2分，(18)式2分. 解法二
1.当三角形薄板处于平衡状态时，根据对称性，
必位于过B、C两点的水平圆面
内，以O′表示此水平圆面的圆心，如图1所示.碗内壁球面的球心为O，则O′以及A、O三点必位于同一条竖直线上.由于B、C与球面接触处都是光滑的，球面对这两点的作用力都指向球面的球心O，令NB和NC分别表示这两个力的大小.由对称性可知
8
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NB=NC (1)
因球面的半径等于等边三角形的边长，三角形OAB和OBC都是等边三角形 ∠AOB=∠BOC=θ=60° (2)
把NB分解成沿竖直方向的分量NB⊥和位于水平面内的分量NB∥，则有
(3)
同理有
(4)
(5)
(6)
NB∥与BO′平行，NC∥与CO′平行，都平行于以O′为圆心的水平圆面，可以把这两个力移到圆心为O′的水平圆面内，如图2所示.NB∥和NC∥的合力为N∥.
球面底部作用于三角形薄板的力NA也可分解成沿竖直方向的分量NA⊥和位于水平面内的分量NA∥.当三角形薄板达到平衡时，有 NA∥=N∥=2NB∥cosα (7) mg-NA⊥-NB⊥-NC⊥=0 (8)
由图1可知，圆心为O′的水平圆面的半径R即线段故有
是等边三角形OAB的高，
由图2得
(9)
9
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(10)
由以上有关各式，(7)、(8)两式可写成
(11)
NA⊥=mg-NB (12)
当三角形薄板达到平衡时，作用于三角形的各力对BC边的力矩总和等于零.NB，NC通过BC边，对BC边无力矩作用，只有NA∥、NA⊥和重力mg对BC边有力矩作用.平衡时有
由(9)、(10)式可知
(13)
(14)
把(14)式代入(13)式，得
(15)
由(11)、(12)和(15)及(1)式
(16)
(17)
(18)
(19)
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2.当解除对A点的约束，A、B、C三顶点将在球面内人静止开始滑动.根据对称性可知，必有一时刻薄板处于水平位置，这时板的重心最低，重力势能最小，薄板具有的动能最大这动能来自薄板减少的重力势能.
在图1中三角形ADO′为直角三角形，一条直角边DO′位于水平位置，另一条直角边AO′位于竖直位置，根据题意及几何关系可知，三角形薄板的重心G位于斜边AD上，离A点的距离为
，重心G的高度
(20)
当三角形薄板的三条边位于同一水平的圆面内时，三角形的重心G′与其三边所在圆面的圆心重合，如图3所示，
这时，三角形薄板重心G′的高度
薄板的最大动能
(21)
(22)
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第二十四届全国中学生物理竞赛预赛试卷
