3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
[A 基础达标]
1．关于回归分析，下列说法错误的是( ) A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B．散点图中，解释变量在x轴，预报变量在y轴 C．回归模型中一定存在随机误差 D．散点图能明确反映变量间的关系
解析：选D．用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差．
^^^^
2．根据如下样本数据得到的回归方程为y＝bx＋a，若a＝5.4，则x每增加1个单位，估计y( ) x y 3 4 4 2.5 5 －0.5 6 0.5 7 －2 A．增加0.9个单位 C．增加1个单位
B．减少0.9个单位 D．减少1个单位
——1^
解析：选B．由题意可得，x＝5，y＝(4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，因为回归方程y＝
5^
^^^^
bx＋a，若a＝5.4，且回归直线过点(5，0.9)，所以0.9＝5b＋5.4，解得b＝－0.9，所以x每增加一个单位，估计y减少0.9个单位．
3．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其回归^^^1
直线方程是y＝bx＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数b的值是
8( )
1A． 161C． 3
1B． 41D． 2
—3—3
解析：选C．因为x1＋x2＋x3＋…＋x8＝6，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝3，所以x＝，y＝，
48^13^31?33?所以样本点的中心坐标为?，?，代入回归直线方程得＝b×＋，解得b＝. 8483?48?
4.如图，5个(x，y)数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是( )
A．相关系数r变大 B．残差平方和变大 C．相关指数R变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
解析：选B．依据线性相关的有关知识可知，去掉数据D(3，10)后相关系数r变大；相关指数R也变大；同时解释变量x与预报变量y的相关性也变强，相应的残差平方和变小．
5．若某地财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5.如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过( )
A．10亿元 C．10.5亿元
B．9亿元 D．9.5 亿元
2
2
解析：选C．代入数据y＝10＋e，因为|e|≤0.5， 所以9.5≤y≤10.5，故不会超过10.5亿元．
6．某市居民2014～2018年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单位：万元)的统计资料如表：
年份 收入x 支出y 2014 11.5 6.8 2015 12.1 8.8 2016 13 9.8 2017 13.5 10 2018 15 12 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________(填“正”或“负”)线性相关关系．
解析：把2014～2018年家庭年平均收入按从小到大顺序排列为11.5，12.1，13，13.5，15，因此中位数为13(万元)，由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．
答案：13 正
7．关于变量x，y的一组样本数据(a1，b1)，(a2，b2)，…，(an，bn)(n≥2，a1，a2，…，
an不全相等)的散点图中，若所有样本点(ai，bi)(i＝1，2，…，n)恰好都在直线y＝－2x＋1
上，则根据这组样本数据推断的变量x，y的相关系数为________．
解析：所有样本点都在直线上，说明这两个变量间完全负相关，故其相关系数为－1，故填－1.
答案：－1
8．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间的关系如下表：
x y ^2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 y与x的线性回归方程为y＝6.5x＋17.5，当广告支出5万元时，随机误差的效应(残差)
为________．
^^
解析：因为y与x的线性回归方程为y＝6.5x＋17.5，当x＝5时，y＝50，当广告支出5万元时，由表格得y＝60，故随机误差的效应(残差)为60－50＝10.
答案：10
9．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表： x y 7
2
73 66 4 69 5 73 6 81 7 89 8 90 9 91 已知∑xi＝280，∑xiyi＝3 487. i＝1i＝1——(1)求x，y；
(2)已知纯利y与每天销售件数x线性相关，试求出其回归方程． —3＋4＋5＋6＋7＋8＋9
解：(1)x＝＝6，
7—
y＝
66＋69＋73＋81＋89＋90＋91559
＝. 77
(2)因为y与x有线性相关关系，
559——3 487－7×6×∑xiyi－7x y7^i＝1
所以b＝7＝＝4.75，
—2280－7×362
∑xi－7xi＝1
7
^
a＝
559719
－6×4.75＝≈51.36. 714
^
故回归方程为y＝4.75x＋51.36.
10．某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(xi，yi)(i＝1，2，…，6)，如表所示：
试销单价x/元 产品销量y/件 —
已知y＝80， (1)求q的值；
4 5 84 6 83 7 80 8 75 9 68 q ^^
(2)已知变量x，y具有线性相关性，求产品销量y关于试销单价x的线性回归方程y＝bx^2＋a.可供选择的数据∑xiyi＝3 050，∑xi＝271. i＝1i＝1
^
(3)用y表示(2)中所求的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量yi的估计值．当销售数^
据(xi，yi)(i＝1，2，…，6)对应的残差的绝对值|yi－yi|≤1时，则将销售数据(xi，yi)称为一个“好数据”．试求这6组销售数据中的“好数据”．
^^^
参数数据：线性回归方程中b，a的最小二乘估计分别是b＝——
∑xiyi－nxyi＝1
nn6
6
—22∑xi－n（x）i＝1
^—^—
，a＝y－bx.
—q＋84＋83＋80＋75＋68
解：(1)因为y＝，
6—q＋84＋83＋80＋75＋68
又因为y＝80，所以＝80，
6所以q＝90.
—4＋5＋6＋7＋8＋913(2)x＝＝. 6213
3 050－6×80×
2^
所以b＝＝－4，
2?13?271－6×???2?
^^13
所以a＝80－(－4)×＝106，所以y＝－4x＋106.
2^
(3)因为y＝－4x＋106，
^^
所以y1＝－4x1＋106＝90，|y1－y1|＝|90－90|＝0<1， 所以(x1，y1)＝(4，90)是好数据； ^
y2＝－4x2＋106＝86，|y2－y2|＝|86－84|＝2>1，
所以(x2，y2)＝(5，84)不是好数据； ^
^
y3＝－4x3＋106＝82，|y3－y3|＝|82－83|＝1＝1，
所以(x3，y3)＝(6，83)是好数据； ^
^
y4＝－4x4＋106＝78，|y4－y4|＝|78－80|＝2>1， 所以(x4，y4)＝(7，80)不是好数据； ^
^
y5＝－4x5＋106＝74，|y5－y5|＝|74－75|＝1＝1，
所以(x5，y5)＝(8，75)是好数据；
^
^
y6＝－4x6＋106＝70，|y6－y6|＝|70－68|＝2>1，
所以(x6，y6)＝(9，68)不是好数据； 所以好数据为(4，90)，(6，83)，(8，75)．
[B 能力提升]
11．对于给定的样本点所建立的模型A和模型B，它们的残差平方和分别是a1，a2，R的值分别为b1，b2，下列说法正确的是( )
A．若a1
解析：选C．由残差平方和以及R的定义式可得若a1
2
2
2
^
xc(b>0，b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟，如果4月份的销售量为1.37万部，则5月
份的销售量为________万部．
a＋b＋c＝1，??2
解析：由题意可得，当选用函数f(x)＝ax＋bx＋c时，?4a＋2b＋c＝1.2，解得
??9a＋3b＋c＝1.3，a＝－0.05，??
?b＝0.35， ??c＝0.7.
所以f(x)＝－0.05x＋0.35x＋0.7，f(4)＝1.3，
2
ab＋c＝1，??2x当选用函数g(x)＝ab＋c时?ab＋c＝1.2，
??ab3＋c＝1.3，a＝－0.8，??
解得?b＝0.5，
??c＝1.4，
所以g(x)＝－0.8×0.5＋1.4，g(4)＝1.35，
因为g(4)更接近于1.37，选用函数g(x)＝ab＋c拟合效果较好，所以g(5)＝1.375，5月份的销售量为1.375万部．
答案：1.375
13．(2018·高考全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
xx
2019 - 2020学年高中数学第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用练习（含解析）新人教A版选修2 - 3
