2024-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）
期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题） 1. 已知命题p：，总有，则为
A. ，使得 C. ，总有 B. ，使得 D. ，总有
2. 一直平面内的定点A，B和动点P，则“动点P到两定点A，B的距离之和为为一
定值”是动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的
A. 必要不充分条件 C. 充要条件 A.
B.
B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要 C.
D.
3. 直线l经过，两点，则直线l的倾斜角的取值范围是
4. 已知直线沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y正方向平移1个单位长度后，又
回到原来位置，则斜率 A. B. C. D. 3
5. 已知椭圆的短轴长为4，上顶点A，左顶点B，焦点，分别是椭圆左右焦点，且的
面积为，则椭圆的焦距为
A. A. A. C.
B. B.
C. C. B. D.
D. D.
6. 已知实数x，y满足，则的取值范围是
7. 过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则的外接圆方程是
8. 椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直
线恰好与圆相切于点P，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
9. 唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中
隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为
A. B. C. D.
10. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点P与点A，B不重合，则的
面积最大值是 A. B. 5 C. D. 11. 设椭圆C：上的一点P到两条直线和的距离分别是，，则的最小值
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
12. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上一点，椭圆C内一点Q满
足：点Q在的延长线上若，则该椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题）
13. 已知直线l过点，且原点到直线l的距离为1，则直线l方程为______． 14. 若椭圆的焦距为1，则______．
15. 已知O为坐标原点，椭圆T：的离心率为，一个顶点为，过椭圆上一点P的两条直
线PA，PC分别与椭圆交于A，C，设PA，PC的中点分别为D，E，直线PA，PC的斜率分别是，，若直线OD，OE的斜率之和为2，则的最大值为______．
16. 已知直线与圆交于两点A，B，若期中O为坐标原点，则实数b的取值范围______ 三、解答题（本大题共6小题） 17. 已知：和：的交点为P．
求经过点P且与直线：垂直的直线的方程
直线经过点P与x轴、y轴交于A、B两点，且P为线段AB的中点，求的面积．
18. 已知P：方程表示圆心在第三象限的圆，q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．
若为真命题，求实数m的取值范围；
若“”为假，“为真”，求m的取值范围．
19. 若直线与x轴，y轴的交点分别为A，B，圆C以线段AB为直径．
Ⅰ求圆C的标准方程；
Ⅱ若直线l过点，与圆C交于点M，N，且，求直线l的方程．
20. 如图，，是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，链接M，N
两地之间的铁路是圆心在上的一段圆弧，若点M在O正北方向，且，点N到，距离分别为4km和5km．
建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程； 若该城市的某中学拟在O点正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距离点O的最近距离．注：校址视为一个点
21. 已知椭圆C：的离心率，连接椭圆的四个顶点得到
的菱形的面积为． 求椭圆C的方程；
如图所示，该椭圆C的左、右焦点，作两条平行的直线分别交椭圆于A，B，C，D四个点，试求平行四边形ABCD面积的最大值．
22. 已知的两个顶点为，，平面内P，Q同时满足；；．
求顶点A的轨迹E的方程；
过点作两条互相垂直的直线，，直线，被点A的轨迹E截得的弦分别为，，设弦，的中点分别为M，试问：直线MN是否恒过一个顶点？若过定点，请求出该顶点，若不过定点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题，属于基础题据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定． 【解答】
解：根据全称命题的否定为特称命题可知，为，使得． 故选B． 2.【答案】A
【解析】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和 ，且a为常数成立是定值．
若动点P到两定点A，B的距离之和 ，且a为常数，当，此时的轨迹不是椭圆．
“动点P到两定点A，B的距离之和为为一定值”是动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的必要不充分条件． 故选：A．
结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键． 3.【答案】C
【解析】解：由题意可得，直线的斜率， 故，
根据正切函数的性质可知，或， 故选：C．
由题意可得，直线的斜率，从而可得，然后结合正切函数的性质即可求解．
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系，解题的关键是正切函数图象的应用． 4.【答案】A
【解析】解：直线沿x轴负方向平移3个单位长度，得， 再沿y正方向平移1个单位长度，得， 由题意可得，直线与直线重合， 则，即． 故选：A．
由已知求得平移后图象对应的函数解析式，再由题意可得平移前后的图象重合，由此即可求得k值．
本题考查函数的图象及图象变换，掌握函数图象的平移变换是关键，是基础题． 5.【答案】C
【解析】解：椭圆的短轴长为4，可得，
上顶点A，左顶点B，焦点，分别是椭圆左右焦点，且的面积为， 可得，即，所以，，可得，， 椭圆的焦距为：． 故选：C．
利用椭圆的简单性质结合三角形的面积求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：目标函数目标函目标函数，表示动点与定点 连线斜率k的两倍加1，
由图可知，当点P在点处时，k最大， 最大值为：11；
当点P在点处时，k最小， 最小值为：； 从而的取值范围是 故选：C．
画可行域明确目标函数几何意义，目标函数，表示动点与定点连线斜率k的2倍加过M做直线与可行域相交可
计算出直线PM斜率，从而得出所求目标函数范围．
本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想． 7.【答案】A
【解析】【分析】
由题意知，，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，外接圆就是四边形AOBP的外接圆．本题考查圆的标准方程的求法，把求外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想． 【解答】
解：由题意知，，，
四边形AOBP有一组对角都等于，
四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP， 的中点为，，
四边形AOBP的外接圆的方程为 ， 外接圆的方程为． 故选：A
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于一般题． 利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可． 【解答】
解：椭圆的左右焦点分别是、，
以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线恰好与圆相切于点P， 可得，可得， 所以，， 解得． 故选：A． 9.【答案】B
湖北省华中师范大学第一附属中学2024-2024学年高二上学期期中检测数学试题+Word版含解析
