作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------二次函数教学
反思 铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S?ABC?ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
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h B 铅垂高 C y B y B D C A 水平宽 a 图1
O x A P O x
例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由. 解：（1）B（1，3）
3），得a?（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1,
y?3223x?x 3333，因此
（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.
设直线AB为
?3k???k?b?3,?3y=kx+b.所以?解得?????2k?b?0.?b?23?3?，因此直线AB为y?323x?33，当
x=－1时，y?33，因此点C的坐标为（－1，3/3）.
（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.
1S?PAB?S?PAD?S?PBD?(yD?yP)(xB?xA)21??323??3223?????x???3????3x?3x????32?3?????????323x?x?3222
3?1?93???x???2?2?8当x=－1时，△PAB的面积的最大值为92381，此时P??,???2?3??. 4??例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S?CAB；(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
y1?a(x?1)2?4把A解：(1)设抛物线的解析式为：（3,0）
y C B
98代入解析式求得a??1所以y1??(x?1)2?4??x2?2x?3设直线AB的解析式为：y2?kx?b由y1??x2?2x?3求得B点的坐标为(0,3) 把A(3,0)，B(0,3)代入y2?kx?b中
k??1,b?3所以y2??x?3
1 O
D x
1
A
解
得：
图-2
(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝
水平宽铅垂高求三角形面积教学
