空间中的垂直关系
1．(2015·安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(D)
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 ．．．．．．D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 ．．．．．．
可以结合图形逐项判断．
A项，α，β可能相交，故错误；
B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误； C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；
D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确． 2．(2018·白银区校级月考)l，m，n是互不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是(C)
A．若α∥β，lα，nβ，则l∥n B．若α⊥β，lα，则l⊥β C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
A选项中，α∥β，lα，nβ，则l与n还可能异面；
B选项中，α⊥β，lα，则l与β还可能斜交或平行； C选项中，l⊥α，l∥β，所以β⊥α是正确的； D选项中，l⊥n，m⊥n，则l与m还可能相交或异面，选C.
3．如图，ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的点，则下面结论中，错误的是(C)
A．AE⊥CE B．BE⊥DE
C．DE⊥CE
D．平面ADE⊥平面BCE
因为BE⊥AE，BE⊥DABE⊥平面ADEBE⊥ED，平面ADE⊥平面BCE.同理可证AE⊥CE.故A，B，D都为真命题．
对于C，假设DE⊥CE，又DE⊥BEDE⊥平面BCE，又AE⊥平面BCEDE∥AE，这显然矛盾．故选C.
4．α，β，γ为不同平面，a，b为不同直线，给出下列条件： ①a⊥α，β∥a; ②α⊥γ，β⊥γ；
③a⊥α，b⊥β，a⊥b; ④aα，bβ，a⊥b. 其中能使α⊥β成立的条件的个数为(B) A．1 B．2 C．3 D．4
根据面面垂直的定义与判定，只有①和③能使α⊥β，选B.
5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取AB＝4，AC?α，BD?β，AC⊥l，BD⊥l，且AC＝3，BD＝12，则CD＝ 13 .
连接AD，则
CD＝AC2＋AD2＝AC2＋AB2＋BD2＝13.
6．已知正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，将它沿AE，AF和EF折起，使点
B，C，D重合为一点P，则必有AP ⊥ 平面PEF.
折起后，有
??
AP⊥PE??AP⊥平面PEF. PF∩PE＝P??
AP⊥PF7．(2018·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，
PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD； (3)求证：EF∥平面PCD.
(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形， 所以BC∥AD，所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形， 所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD， 所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A， 所以PD⊥平面PAB.
又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.
因为F，G分别为PB，PC的中点， 1
所以FG∥BC，FG＝BC.
2
因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点， 1
所以DE∥BC，DE＝BC.
2所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形．
所以EF∥DG.
又因为EF?平面PCD，DG?平面PCD， 所以EF∥平面PCD.
8．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(C) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
因为A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，所以B，D错；
因为A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1， 所以A1E⊥BC1，故C正确；
(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，所以BC1⊥平面CEA1B1.又A1E ?平面CEA1B1，所以A1E⊥BC1)
因为A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错． 故选C.
9．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为 36π .
如图，连接OA，OB.
由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.
由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB. 设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r， 所以三棱锥S－ABC的体积 11rV＝×(SC·OB)·OA＝， 323
即＝9，所以r＝3，所以S球表＝4πr＝36π. 3
10．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
3
r3
2
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
8
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为，求该四棱锥的侧
3面积．
(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，PD∩AP＝P， 从而AB⊥平面PAD.
又AB ?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. (2)如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.
由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD， 可得PE⊥平面ABCD.
设AB＝x，则由已知可得AD＝2x，PE＝故四棱锥P－ABCD的体积
2x. 2
VP－ABCD＝AB·AD·PE＝x3.
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由题设得x＝，故x＝2.
33
从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝22，PB＝PC＝22. 可得四棱锥P－ABCD的侧面积为
1111
PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋23. 2222
1313
2020版高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 课时5 空间中的垂直关系课后作业 文(含解析)新人教A版
