故f(x)在x?(1,3]上为减函数
f(tx2)?f(x?1)?0，即f(tx2)??f(x?1)?f(1?x)
11?11?1即tx2?1?x，t?2??????
xx?x2?4又x?(1,3]，
21?1?1??,1?，故t?? x?3?41??. 4?综上t????,?【点睛】
??本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题. 22．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）?0,【解析】 【分析】
（I）当m?0时，由f(x)?2?0，结合分段函数解析式，求得函数的零点，由此判断出
?1?? ?100?y?f(x)?2的零点的个数.
2（II）令f(x)?3f(x)?0，解得f(x)?0（根据分段函数解析式可知f?x??0，故舍
去.）或f(x)?3.结合分段函数解析式，求得f(x)?3的根，结合分段函数f?x?的分段点，求得m的取值范围. 【详解】
x??2,x?0, （Ⅰ）当m?0时，f(x)??lgx?1,x?0.??令y?f(x)?2?0，得f(x)?2， 则|lgx|?1?2或2|x|?2. 解|lgx|?1?2，得x?10或
1， 101，10，共3个. 10解2|x|?2，得x??1或x?1（舍）.
所以当m?0时，函数y?f(x)?2的零点为?1，
2（Ⅱ）令f(x)?3f(x)?0，得f(x)?0或f(x)?3.
由题易知f(x)?0恒成立.
所以f(x)?3必须有3个实根，即|lgx|?1?3和2|x|?3共有3个根. ①解2|x|?3，得x??log23或x?log23?1（舍），故有1个根. ②解|lgx|?1?3，得x?100或x?1， 100要使得两根都满足题意，则有m?又0?m?1，所以0?m?1. 1001. 100所以实数m的取值范围为?0,【点睛】
?1??. 100??本小题主要考查分段函数零点个数的判断，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.
3????,?23．（Ⅰ）f(x)?x（Ⅱ）??
4??2【解析】 【分析】
（I）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,??)上的单调性，求得m的值，进而求得f?x?的解析式.
（II）先求得g?x?的解析式，由不等式g(x)?0分离常数?得到??1x?，结合函数2x21x?在区间?1,2?上的单调性，求得?的取值范围. 2x2【详解】 y?（Ⅰ）∵幂函数f(x)?x?3m?5(m?N)为偶函数，且在区间(0,??)上单调递增，
??3m?5?0，且?3m?5为偶数. 又m?N，解得m?1，
?f(x)?x2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知g(x)?f(x)?2?x?1?x?2?x?1. 当x?[1,2]时，由g(x)?0得??易知函数y?21x?. 2x21x?在[1,2]上单调递减， 2x2123?1x???????????.
4?2x2?min2?22∴实数?的取值范围是???,?【点睛】
本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.
24．（1）0；（2）证明见解析；（3）x???1,0?U?2024,2024?
??3??. 4?【解析】 【分析】
（1）取x?y?1，代入即可求得f?1?； （2）任取x2?x1?0，可确定f?x2??f?x1??f??x2???0，根据单调性定义得到结论； ?x1?1将所求不等式变为f2域和函数单调性可构造不等式组求得结果. 【详解】
（3）利用f?2024???x2?2024x?f??2024，结合定义
?（1）取x?y?1，则f?1??f?1??f?1?，解得：f?1??0 （2）任取x2?x1?0
?x2??x2??x2?则f?x2??f?x1??f??x1??f?x1??f???f?x1??f?x1??f??
?x1??x1??x1?Qx2?x1?0 ?x2?1 ?fx1?x2????0，即f?x2??f?x1??0 ?x1??f?x?在定义域内单调递增
（3）Qf?2024??f?2024?f??2024?1 ?f??2024??1 2?f?x2?2024x??1?f2?2024
?2??x?2024x?0由（2）知f?x?为增函数 ?? 2??x?2024x?2024解得：x???1,0?U?2024,2024? 【点睛】
本题考查抽象函数单调性的证明、利用单调性求解函数不等式的问题；关键是能够通过单调性的定义证明得到函数单调性，进而根据函数单调性将函数值的比较转化为自变量的比较；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.
?1t?2,0?t?20??525．（Ⅰ）P??；（Ⅱ）Q??t?40；（Ⅲ）第15天交易额最
1??t?8,20?t?30??10大，最大值为125万元． 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由一次函数解析式可得P与时间t所满足的函数解析式； （Ⅱ）设Q?kt?b，代入已知数据可得；
（Ⅲ）由y?QP可得，再根据分段函数性质分段求得最大值，然后比较即得． 【详解】
?b1?2?b1?2?（Ⅰ）当0?t?20时，设P?k1t?b1，则?，解得?1，
20k?b?6k??111?5??b2?8?20k2?b2?6?当20?t?30时，设P?k2t?b2，则?，解得?1
30k?b?5k???222?10??1t?2,0?t?20??5所以P??．
??1t?8,20?t?30??10（Ⅱ）设Q?kt?b，由题意?所以Q??t?40．
?4k?b?36?k??1，解得?，
10k?b?30b?40???1(t?2)(?t?40),0?t?20??5（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得y??
1?(?t?8)(?t?40),20?t?30??10?12?t?6t?80,0?t?20??5即y??，
12?t?12t?320,20?t?30??101155121t?12t?320?(t?60)2?40，它在(20,30]上是减函数， 当20?t?30时，y?101022当0?t?20时，y??t?6t?80??(t?15)?125，t?15时，ymax?125，
所以y?1?(20?60)2?40?120． 10综上，第15天交易额最大，最大值为125万元． 【点睛】
本题考查函数模型应用，解题时只要根据所给函数模型求出函数解析式，然后由解析式求得最大值．只是要注意分段函数必须分段计算最大值，然后比较可得． 26．（1）证明见解析（2）a?4 【解析】 【分析】
（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（2）首先表示出F?x??g?x??f?x?，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。 【详解】
解：（1）任取1?x1?x2，h?x2??h?x1??x2?11?x1? x2x1?x2?x1???x2?x1??x1?x21???x2?x1??1?? x1x2xx?12?x1x2?1. x1x2Q1?x1?x2，?x2?x1?0，x1?x2?1，
?h?x2??h?x1??0， ?h?x?为单调递增函数.
（2）
4(x?1)21??QF(x)?g(x)?f(x)?2loga(2x?2)?logax?loga?loga4?x??2?.
xx??又由（1）知，y?x?11???9?在x??1,2?单调递增，??x??2???4,?，
xx???2??当a?1时，F?x?在x??1,2?单调递增，?F?x?min?loga16?2，解得a?4.
当0?a?1时，F?x?在x?1,2单调递减，?F?x?min?loga18?2， 解得a?18?32（舍去）. 所以a?4. 【点睛】
本题考查用定义法证明函数的单调性，复合函数的单调性的应用，属于中档题.
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2024年高中必修一数学上期末模拟试卷及答案(1)
