大一上学期高数复习要点
同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点；
1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。
2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。
3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！
一.函数与极限 二.导数与微分 三.微分中值定理与导数的应用 四.不定积分 浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限
熟悉 差集 对偶律（最好掌握证明过程） 邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法 数列极限与函数极限的区别 收敛与函数存在极限等价 无穷小与无穷大的转换 夹逼准则（重新推导证明过程） 熟练运用两个重要极限 第二准则 会运用等价无穷小快速化简计算 了解间断点的分类 零点定理 本章公式： 两个重要极限：
二.导数与微分
熟悉函数的可导性与连续性的关系 求高阶导数会运用两边同取对数 隐函数的显化 会求由参数方程确定的函数的导数
洛必达法则：
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或 型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 .
② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点：
注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值
利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）
四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分
1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质
最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！
高数高频易错点
1.求极限请注意自变量趋向什么。我们知道：lim(x趋向0)sinx/x=1，但是当x趋向无穷limsinx/x=0，原因：无穷小量×有界函数=无穷小量。这里：|sinx|<=1，1/x是无穷小量。再次重申：请注意x趋向什么。
2.关于极限的保号性。若 lim f(x)=A , A>0或(A<0)，则存在δ>0，当x取x0的δ去心 x->x0 邻域时,f(x)>0(或f(x)<0)。这是最原始结论：如果结论中不取去心邻域，那么结论是错的。比如举例分段函数：当x=0时，f(x)=-1，当x不为0时，f(x)=x^2＋1，显然lim(x趋向0)f(x)=1>0，然而并不满足f(x)>0(在x=0处)。介绍这个定理的作用：解一类题。请看：已知f(x)可导，且当x趋向0，limf(x)/|x|=1，判断f(x)是否存在极值点。 因为f(x)可导，那么f(x)必连续，因为lim(x趋向0)f(x)/|x|=1这个极限存在且为1，那么我们得到结论：lim(x趋向0)f(x)=0，否则不会存在极限的，又因为f(x)连续，那么f(0)=0，令f(x)/|x|=g(x)，根据保号性，因为limg(x)=1>0，那么：g(x)>0，那么由于|x|在x趋向0时>0，所以f(x)>0，而0=f(0)，所以f(x)>f(0)，根据极小值的定义，x=0为f(x)的极小值点。 ★综上：已知limg(x)=a，a的正负已知，可以使用保号性。 3. 请注意当题目说：x趋向无穷时，那么题目包含两个意思：x趋向正无穷和x趋向负无穷。在含有e^x，arctanx，等等类的题目时，请看清楚x趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无穷。补充：在含有绝对值的题目时，这点尤其重要，如果说x趋向无穷，那么在去||时，必须考虑|x|中x是趋向正无穷还是负无穷，当然题目不一定非要以绝对值出现，有些题会以√(x^2)出现。
4.关于和差化积积化和差公式的记忆。8字口诀：同c异s，s异c同。前者用来记住积化和差，后者用来记住和差化积。举例：sinacosb=？因为它们的三角函数名异名，那么使用s，sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b))，★说明：1，纯粹个人记忆方法，接受不了也正常；2，这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓，比如所有的积化和差，右边是1/2(()＋(或者-)())；3，实在不会，死记硬背吧，或者请教别的大神。 5. 关于极值点的3种判别法：■法一：定义法；■法二：若f(x)可导，f'(xo)=0，且f’’(x)不为0，则f(x)在xo处取得极值，若二阶导<0，取得极大；＞0，极小。法三：(n阶判别法)：若f'(xo)=二阶导(xo)=?=n-1阶导(xo)=0，且n阶导不为0，若n为偶数，且n阶导>0，极小，反之，极大；若n为奇数，n阶导不等于0，则(xo，f(xo)为拐点，xo不是极值点。证明：略
6.参数方程二阶导问题(无数不懂事的孩子搞不清楚)，我们说一般地，y''表示对x的二阶导数，不是对参数t的二阶导数。y''=d^2y/dx^2=[d(dy/dx)]/dx，对于求dy/dx，我们采用求关于t的y’(t)，和关于t的x'(t)，因为dy/dx=(dy/dt)×(dt/dx)=y'(t)/x‘(t)。举例：已知y=cost，x=t^2，那么求dy/dx，d^2y/dx^2。标准解答：1：y'(t)=-sint，x'(t)=2t，所以dy/dx=-sint/2t；2：d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=｛d[(-sint)/2t]｝/dt * (dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t^3) ???★综上：二阶导是一个整体记号，不是简单的除法。 7.等价无穷小只能使用于乘除(题外：其实它可以使用于加减的，这里不说，以防混淆)。比如：初学者可能会认为这个极限为0，lim(x趋向0)(tanx-sinx)/x^3=0[计算思路：(x-x)/x^3=0]，事实上它等于1/2.原因：提取tanx后等价无穷小。等价无穷小必须自己去
背的，没有人可以帮你。
8.对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。错误一：把变量当做常量。比如：y=x^x，标准解答lny=xlnx，两边对x求导，y'/y=1+lnx，所以y'=(x^x)(1+lnx)。错误做法：y=x^x，y'=x(x^(x-1))=x^x。(但愿你们找到了错误在哪)，错误二：搞不清楚对x求导是什么意思。当然：y=x^2求导大家都会吧，y'=2x，当出现对y^2=x^2，很多同学就迷茫了，我们说y是x的函数，所以最后必须乘y'，对y^2=x^2求导，得到：2yy'=2x.再则：对隐函数求导我们把其中一个看成常量，比如y=yx+x^2，那么求导：y'=y+y'x+2x。★综上：对隐函数求导，若是单独y，求导为y'，一切关于y的函数(比如y^2，lny，a^y等)，先对这个函数求导再乘y'.
9.函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题，与它的邻域无关，也就是说点可导，在中心点的去心邻域内的点未必可导。比如函数f(x)=0 当x是有理数。 f(x)=x^2 当 x是无理数。
只在x=0处点连续，并可导。按定义可验证在x=0处导数为0.
10.无穷小×有界=无穷小，但是：无穷大×有界未必等于无穷大。正确结论：无穷大×有界=未知，比如：当x趋向正无穷，x，x^2始终为无穷大，而1/x，1/x^2为有界量。 注意到：x*(1/x^2)=1/x就是一个无穷小,而x^2*(1/x)=x却是无穷大,而x*(1/x)=1却是有限的。 11.可导与连续是完全不一样的。有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo连续，特别开心，他说易得：左导=右导=f(xo)，你太天真了。其实：连续是说左极限=右极限=f(xo)，可导是：lim(x->xo)f(x)=f(xo)，且左导=右导。请搞清楚你要处理的问题。不要学了一个学期都是云里雾里，当然一学期没上过一节课的同学，除外。补充：在一元函数微分学中，可导必然连续，连续未必可导(这个显然嘛，y=|x|在x=0处连续但是不可导)。 12.很多初学者认为：∫(a到x)f(t)dt中，变量是t，这是错的，你忽略了变限积分的来历，自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。记住：这里x是变量，它求导=f(x)。 13.还有人问为什么高等数学中分母可以为0，他说比如0/0不是以0为分母，他的错误在于没有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0，它表示极限0，由于极限等于0，我们习惯称为0/0形式。也就是说：若没有lim这个符号，0/0没有意义。事实上：再比如：货真价实的数字1，1^无穷 =1，若是(极限1)^无穷，则结果待定。★★★高等数学中由于极限的四则运算包括幂指数运算无法解决形如：0/0，1^无穷，无穷/无穷，等等7类运算。为此，产生了7种特殊的式子：不定式。由于结果不确定，所以称之为不定式。????◆综上：我们现在学的是高等数学，几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论，但是你不能抛弃原有的初等数学知识理论，并且注意区分。
14.求数列极限不可直接使用洛必达，数列是整标函数，每个孤立点不连续，不可导，故不符合洛必达的条件1，为此：正确做法：先令n为x，再使用洛必达，最后换为n.
15. 无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大[但是请注意：这里的无穷小除去了0。 16.x趋向0，limsinx/x=1不可以使用洛必达法则证明，原因：(sinx)‘=cosx这个公式的证明使用了limsinx/x=1，所以犯了循环论证的错误～
17.关于洛必达法则的运用条件绝非0/0，无穷/无穷那么简单。洛必达的3个条件：⑴ x→a时， lim f(x)=0,lim F(x)=0;
⑵在点a的某 去心邻域 内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的 导数 不等于0; ⑶ x→a时， lim( f'(x)/F'(x) ）存在或为 无穷大
则 x→a时，lim( f(x) / F(x))=lim( f'(x)/F'(x) ) ，◆◆◆请注意：1，第三点很容易被忽略，一般地：含有lim(x趋向无穷)sinx，或者cosx，是不会采用洛必达的；2，在解含有抽象函数f(x)时尤其注意第二点，在求最后一步导时我们使用的是导数定义，也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来，因为你不确定它最后一步时是否满足第二个条件，所
大一上学期高数复习要点
