难度:容易 知识点:定值问题
7.把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上,OA边在直线m上,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时,点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处,又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点,按顺时针方向旋转90°…,按上述方法经过4次旋转后,顶点O经过的总路程为 ,经过61次旋转后,顶点O经过的总路程为 ______
答案:
解析:如图,为了便于标注字母,且位置更清晰,每次旋转后不防向右移动一点, 第1次旋转路线是以正方形的边长为半径,以90°圆心角的扇形,路线长为第2次旋转路线是以正方形的对角线长
=
;
=
;
为半径,以90°圆心角的扇形,路线长为
=
;
第3次旋转路线是以正方形的边长为半径,以90°圆心角的扇形,路线长为第4次旋转点O没有移动,旋转后与最初正方形的放置相同, 因此4次旋转,顶点O经过的路线长为∵61÷4=15…1,
+
+
=
;
∴经过61次旋转,顶点O经过的路程是4次旋转路程的15倍加上第1次路线长,即
×15+
=
.
故答案为:
;
.
难度:中档 知识点:定值问题
8.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,边CD在直线l上,将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚,当点A第一次翻滚到点A1位置时,则点A经过的路线长为 .
答案:6π
解析:∵四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=3, ∴BC=AD=3,∠ADC=90°,对角线AC(BD)=5. ∵根据旋转的性质知,∠ADA′=90°,AD=A′D=BC=3, ∴点A第一次翻滚到点A′位置时,则点A′经过的路线长为:同理,点A′第一次翻滚到点A″位置时,则点A′经过的路线长为:点A″第一次翻滚到点A1位置时,则点A″经过的路线长为:则当点A第一次翻滚到点A1位置时,则点A经过的路线长为:故答案是:6π. 难度:容易 知识点:定值问题
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E为BC边上的一点,以A为圆心,AE为半径的圆弧交AB于点D,交AC的延长于点F,若图中两个阴影部分的面积相等,则AF的长为 (结果保留根号).
=+2π+=
. =2π. . =6π.
答案:
解析:∵图中两个阴影部分的面积相等, ∴S扇形ADF=S△ABC,即:又∵AC=BC=1, ∴AF2=∴AF=故答案为难度:容易 知识点:定值问题
, . .
=×AC×BC,
10.如图,半径为1的半圆O上有两个动点A,B,若AB=1,则四边形ABCD的面积的最大值是 .
答案:
解析:过点O作OH⊥AB于点H,连接OA,OB,分别过点A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD,BG⊥CD于点E、F、G, ∵AB=1,⊙O的半径=1, ∴OH=
,
∵垂线段最短, ∴HF<OH, ∴HF=(AE+BG),
∴S四边形ABCD=S△AOC+S△AOB+S△BOD=×1×AE+×1×
+×1×BG
=AE++BG
=.
+
=
.
=(AE+BG)+=HF+
≤OH+
故答案为:难度:困难
知识点:定值问题
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,
,经过点C且与边AB相切的动圆与
CA、CB分别交于点D、E,则线段DE长度的最小值是 .
答案:4.8
解析:如图,设DE的中点为F,圆F与AB的切点为P,连接FP,连接CF,CP,则FP⊥AB. ∵AB=10,∴AC=8,BC=6 ∵∠ACB=90°, ∴FC+FP=DE, ∴CF+FP>CP,
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CP上时,PC=DE有最小值, ∴DE=CP=故答案为4.8.
=
=4.8 ,
难度:中档 知识点:定值问题
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(2,0),B(0,2),⊙C的圆心为点C(﹣1,0),半径为1.若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最大值是 .
答案:2+
解析:当⊙C与AD相切时,△ABE面积最大, 连接CD, 则∠CDA=90°,
∵A(2,0),B(0,2),⊙C的圆心为点C(﹣1,0),半径为1, ∴CD=1,AC=2+1=3, ∴AD=
=2
,
∵∠AOE=∠ADC=90°,∠EAO=∠CAD, ∴△AOE∽△ADC, ∴即∴OE=
, , ,
《定值问题》试题
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